第四章三角函数、解三角形4.5三角恒等变形第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式试题理北师大版1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，(Cα－β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，(Cα＋β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，(Sα－β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，(Sα＋β)tan(α－β)＝，(Tα－β)tan(α＋β)＝.(Tα＋β)2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；(S2α)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(C2α)tan2α＝.(T2α)【知识拓展】1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.3．辅助角公式：asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(√)(2)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定．(×)(3)若α＋β＝45°，则tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.(√)(4)对任意角α都有1＋sinα＝(sin＋cos)2.(√)(5)y＝3sinx＋4cosx的最大值是7.(×)(6)在非直角三角形中，tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC．(√)1．(教材改编)sin18°cos27°＋cos18°sin27°的值是()A.B.C.D．－答案A解析sin18°cos27°＋cos18°sin27°＝sin(18°＋27°)＝sin45°＝.2．化简等于()A．1B.C.D．2答案C解析原式＝＝＝＝.3．若＝，则tan2α等于()A．－B.C．－D.答案B解析由＝，等式左边分子、分母同除cosα，得＝，解得tanα＝－3，则tan2α＝＝.4．tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝.答案解析 tan60°＝tan(20°＋40°)＝，∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)＝－tan20°tan40°，∴原式＝－tan20°tan40°＋tan20°tan40°＝.5．(2016·江西玉山一中期中)已知f(x)＝－sinxcosx－sin2x，则f(x)在[－，]上的最大值为()A．－B．0C.D．1答案C解析 f(x)＝－sinxcosx－sin2x＝－sin2x－＝－sin(2x－)－， x∈[－，]，∴2x－∈[－，]，∴f(x)的最大值为.第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一和差公式的直接应用例1(1)(2016·广州模拟)已知sinα＝，α∈(，π)，则＝.(2)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值为()A．－B.C.D．－答案(1)－(2)B解析(1)＝＝cosα－sinα， sinα＝，α∈(，π)，∴cosα＝－，∴原式＝－.(2)由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝，则C＝，cosC＝.思维升华(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．(1)(2016·全国丙卷)若tanα＝，则cos2α＋2sin2α等于()A.B.C．1D.(2)计算的值为()A．－B.C.D．－答案(1)A(2)B解析(1)tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝＝＝.(2)＝＝＝＝.题型二和差公式的综合应用命题点1角的变换例2(1)设α、β都是锐角，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ等于()A.B.C.或D.或(2)已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值是．答案(1)A(2)－解析(1)依题意得sinα＝＝，cos(α＋β)＝±＝±.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cosα>cos(α＋β)．因为>>－，所以cos(α＋β)＝－.于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.(2) cos(α－)＋sinα＝，∴cosα＋sinα＝，(cosα＋sinα)＝，sin(＋α)＝，∴sin(＋α)＝，∴sin(α＋)＝－sin(＋α)＝－.命题点2三角函数式的变形例3(1)化简：(0<θ<π)；(2)求值：－sin10°(－tan5°)．解(1)由θ∈(0，π)，得0<<，∴cos>0，∴＝＝2cos.又(1＋sinθ＋cosθ)(sin－cos)＝(2sincos＋2cos2)(sin－cos)＝2cos(sin2－cos2)＝－2coscosθ.故原式＝＝－cosθ.(2)原式＝－sin10°(－)＝－sin10°·＝－sin10°·＝－2cos10°＝＝＝＝＝.引申探究化简：(0<θ<π)．解 0<<，∴＝2sin，又1＋sinθ－cosθ＝2sincos＋2sin2＝2sin(sin＋cos)∴原式＝＝－cosθ.思维升华(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“...
