平摆线和渐开线练习1给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的平摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有()．A．①③B．②④C．②③D．①③④2平摆线(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是()．A．(π－2,2)B．(3π＋2,2)C．(π－2,2)或(3π＋2,2)D．(π－3,5)3如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是()．A．3πB．4πC．5πD．6π4我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为()．A．(φ为参数)B．(φ为参数)C．(φ为参数)D．(φ为参数)5半径为3的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标为__________．6已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数，则点P的坐标1为________．7已知平摆线的生成圆的直径为80mm，写出平摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高．8已知圆的渐开线(φ为参数，0≤φ＜2π)上有一点的坐标为(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积．2参考答案1答案：C对于一个圆，只要半径确定，渐开线和平摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．2答案：C由y＝2得2＝2(1－cost)，∴cost＝0.∵0≤t≤2π，∴或.∴x1＝＝π－2，x2＝＝3π＋2.∴交点的直角坐标为(π－2,2)或(3π＋2,2)．3答案：C根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.4答案：B关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换．所以要写出平摆线方程关于直线y＝x的对称曲线方程，只需把其中的x与y互换．5答案：6kπ(k∈Z)∵r＝3，∴平摆线的参数方程为(φ为参数)．把y＝0代入，得cosφ＝1.∴sinφ＝0，∴φ＝2kπ(k∈Z)．∴x＝3φ－3sinφ＝6kπ(k∈Z)．6答案：(π，2)由题意，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为(φ为参数)．当时，x＝π，y＝2，故点P的坐标为(π，2)．7答案：解：∵平摆线的生成圆的半径r＝40mm，∴此平摆线的参数方程为(t为参数)，它一拱的拱宽为2πr＝2π×40＝80π(mm)，拱高为2r＝2×40＝80(mm)．8答案：解：把已知点(3,0)代入参数方程得解得所以基圆的面积S＝πr2＝π×32＝9π.3
