课时分层作业(十三)基本初等函数的导数(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列结论正确的是()A．若y＝cosx，则y′＝sinxB．若y＝sinx，则y′＝－cosxC．若y＝，则y′＝－D．若y＝，则y′＝C[∵(cosx)′＝－sinx，∴A不正确；∵(sinx)′＝cosx，∴B不正确；∵()′＝，∴D不正确．]2．在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为()A．(1,1)B．(－1，－1)C．(－1,1)D．(1,1)或(－1，－1)D[切线的斜率k＝tanπ＝－1，设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，又f′(x)＝－，∴－＝－1，∴x0＝1或－1，∴切点坐标为(1,1)或(－1，－1)．故选D.]3．对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为()A．f(x)＝x3B．f(x)＝x4－2C．f(x)＝x3＋1D．f(x)＝x4－1B[由f′(x)＝4x3知f(x)中含有x4项，然后将x＝1代入选项中验证可得，选B.]4．已知曲线y＝x3在点(2,8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝()A．4B．－4C．28D．－28C[∵y′＝3x2，∴点(2,8)处的切线斜率k＝f′(2)＝12.∴切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，∴k＝12，b＝－16，∴k－b＝28.]5．若f(x)＝sinx，f′(α)＝，则下列α的值中满足条件的是()A.B.C.πD.πA[∵f(x)＝sinx，∴f′(x)＝cosx.又∵f′(α)＝cosα＝，∴α＝2kπ±(k∈Z)．当k＝0时，α＝.]二、填空题6．若f(x)＝，且f′(α)＝，则α＝________.4[因为f′(x)＝，所以f′(α)＝＝，解得α＝4.]7．已知函数y＝f(x)的图像在M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__________.3[依题意知，f(1)＝×1＋2＝，f′(1)＝，∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3.]8．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.1ln2－1[设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝lnx0.∵y′＝(lnx)′＝，由题意知＝，∴x0＝2，y0＝ln2.由ln2＝×2＋b，得b＝ln2－1.]三、解答题9．若质点P的运动方程是s＝(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8s时的瞬时速度．[解]∵s′＝()′＝(t)′＝t－，∴s′|t＝8＝×8－＝×2－1＝，∴质点P在t＝8s时的瞬时速度为m/s.10．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点．(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．[解](1)因为y′＝2x.P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．过P点的切线的斜率k1＝－2，过Q点的切线的斜率k2＝4，过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)直线PQ的斜率k＝＝1，设切点为(x0，x)，因为y′＝2x，所以切线的斜率k＝2x0＝1，所以x0＝，所以切点M，与PQ平行的切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.11．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2020(x)＝()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosxA[f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝(－cosx)′＝sinx，所以4为最小正周期．故f2020(x)＝f4(x)＝sinx．]12．(多选题)下列曲线的切线中，不存在互相垂直的切线的曲线是()A．f(x)＝exB．f(x)＝x3C．f(x)＝lnxD．f(x)＝sinxABC[若存在互相垂直的切线，则其斜率之积为－1，或一条切线的斜率不存在，另一条切线的斜率为0.A中，f′(x)＝ex>0，B中f′(x)＝3x2≥0，C中f′(x)＝(x>0)，故ABC中均不存在互相垂直的切线方程．而D中f′(x)＝cosx，其可正可负，一定存在使cosx1·cosx2＝－1的情形，故选ABC.]13．若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝2________.64[因为y′＝－x－，所以曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线方程为：y－a－＝－a－(x－a)，令x＝0得y＝a－，令y＝0得x＝3a，所以·a－·3a＝18，解得a＝64.]14．(一题两空)曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线方程为________，其与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn＝________.y＝(n＋1)x－n[∵y′＝(n＋1)xn，∴y′|x＝1＝n＋1.∴曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，即y＝(n＋1)x－n.令y＝0得x＝，∴xn＝，∴x1·x2·…·xn＝×××…×＝.]15．点P是f(x)＝x2上任意一点，求点P到直线y＝x－1的最短距离．[解]与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小．设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1，∴x0＝，y0＝.即P到直线y＝x－1的距离最短．∴d＝＝.3
