高中数学第二讲讲明不等式的基本方法 2.2 综合法与分析法课后训练新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

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2.2综合法与分析法课后训练1．若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ac＝1，则下列不等式成立的是()．A．a2＋b2＋c2≥2B．(a＋b＋c)2≥3C．11123abc＋＋D．abc(a＋b＋c)≤132．若x＞0，y＞0，且x＋y＝2，则x2＋y2的最小值是__________．3．下列四个不等式：①a＜0＜b；②b＜a＜0；③b＜0＜a；④0＜b＜a，其中能使11ab；②若a＞b＞0，则11>abab－－；③若a＞b＞0，则2>2abaabb＋＋；④设a，b是互不相等的正数，则1|2abab－＋－.其中正确命题的序号是__________．5．已知x，y∈R，且1≤x2＋y2≤2，z＝x2＋xy＋y2，则z的取值范围是__________．6．已知a，b，m都是正数，在空白处填上适当的不等号：(1)当a________b时，>aambbm＋＋；(2)当a________b时，aambbm＋＋.7．设x，y都是正数，求证：12(x＋y)2＋14(x＋y)≥xyyx＋.8．已知实数a，b，c＞0，求证：a3＋b3＋c3≥13(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．已知：a，b是不相等的正数，且a3－b3＝a2－b2.求证：1＜a＋b＜43.参考答案1.答案：B解析：因为a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，将三式相加，得2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac，即a2＋b2＋c2≥1．又因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，所以(a＋b＋c)2≥1＋2×1＝3.故选项B成立．2.答案：2解析：由x2＋y2≥2xy，得2(x2＋y2)≥(x＋y)2，1即2222xyxy＋＋.因为x＋y＝2，所以x2＋y2≥2.当且仅当x＝y＝1时取得最小值2.3.答案：①②④解析：①a＜0＜b11ab；④0＜b＜a11aambbm＋＋ab＋am＞ab＋bmam＞bma＞b；(2)aambbm＋＋a(b＋m)≤b(a＋m)am≤bma≤b.7.证明：原不等式2(x＋y)2＋(x＋y)≥44xyyx＋(x＋y)[2(x＋y)＋1]≥2(22)xyxy＋．∵x＋y≥2>0xy，∴只需证2(x＋y)＋1≥22xy＋，2即证1144xyxy＋＋＋＋.而1244xxx＋＝，1244yyy＋＝，当且仅当14xy＝＝时，等号成立，∴12(x＋y)2＋14(x＋y)≥xyyx＋.8.证明：∵a2＋b2≥2ab，∴(a2＋b2)(a＋b)≥2ab(a＋b)，即a3＋b3＋a2b＋ab2≥2ab(a＋b)＝2a2b＋2ab2.∴a3＋b3≥a2b＋ab2.同理：b3＋c3≥b2c＋bc2，a3＋c3≥a2c＋ac2.将三式相加，得2(a3＋b3＋c3)≥a2b＋ab2＋b2c＋bc2＋a2c＋ac2，∴3(a3＋b3＋c3)≥(a3＋a2b＋a2c)＋(b3＋b2a＋b2c)＋(c3＋c2a＋c2b)＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)．∴a3＋b3＋c3≥13(a2＋b2＋c2)(a＋b＋c)．9.证明：∵a，b是不相等的正数，且a3－b3＝a2－b2，∴a2＋ab＋b2＝a＋b.∴(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＞a2＋ab＋b2＝a＋b.∴a＋b＞1．要证a＋b＜43，只需证3(a＋b)＜4，只需证3(a＋b)2＜4(a＋b)，即3(a2＋2ab＋b2)＜4(a2＋ab＋b2)，只需证a2－2ab＋b2＞0，只需证(a－b)2＞0，而a，b为不相等的正数，∴(a－b)2＞0一定成立．故而a＋b＜43成立．综上，1＜a＋b＜43.3

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