1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质[A基础达标]1.若(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为()A．210B．252C．462D．10解析：选A．由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n＝10，于是得其常数项为C＝210.2.(1＋x)n(3－x)的展开式中各项系数的和为1024，则n的值为()A．8B．9C．10D．11解析：选B．由题意知(1＋1)n(3－1)＝1024，即2n＋1＝1024，所以n＝9.故选B．3.(2019·烟台高二检测)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A．212B．211C．210D．29解析：选D．因为(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10，所以二项式(1＋x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为×210＝29.4.已知(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝()A．32B．64C．128D．256解析：选D．由题意可得C＝C，所以n＝4.令x＝－1，则(3－x)n＝(3＋1)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4＝256.所以a0－a1＋a2＋…＋(－1)nan＝256.5.设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于()A．2nB．C．2n＋1D．解析：选D．令x＝1得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n.①令x＝－1得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n.②①＋②得3n＋1＝2(a0＋a2＋…＋a2n)，所以a0＋a2＋…＋a2n＝.故选D．6.已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝________.解析：展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rC·a5－r·xr，令r＝2，则a2＝(－1)2C·a3＝80，即a＝2，故(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋…＋a5＝1.答案：17.若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝________.解析：因为(1＋)5＝C()0＋C()1＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5＝1＋5＋20＋20＋20＋4＝41＋29，由已知可得41＋29＝a＋b，1所以a＋b＝41＋29＝70.答案：708.(x2＋1)(x－2)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a11(x－1)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________.解析：令x＝1，得a0＝－2.令x＝2，得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0.所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝2.答案：29.设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值：(1)a0；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.解：(1)令x＝0，可得a0＝2100.(2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，(*)所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100.(3)令x＝－1.可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.与(*)式联立相减得a1＋a3＋…＋a99＝.(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)·(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝[(2－)(2＋)]100＝1100＝1.(5)因为Tr＋1＝(－1)rC2100－r()rxr.所以a2k－1<0(k∈N*).所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.10.已知的展开式的各项系数之和等于的展开式中的常数项，求：(1)展开式的二项式系数和；(2)展开式中含a－1项的二项式系数.解：依题意，令a＝1，得展开式中各项系数和为(3－1)n＝2n，展开式中的通项为Tr＋1＝C(4)5－r＝(－1)rC45－r·5－b.若Tr＋1为常数项，则＝0，即r＝2，故常数项为T3＝(－1)2C·43·5－1＝27，于是有2n＝27，得n＝7.(1)展开式的二项式系数和为2n＝27＝128.(2)的通项为Tr＋1＝C·(－)r＝C(－1)r·37－r·a，令＝－1，得r＝3，所以所求a－1项的二项式系数为C＝35.[B能力提升]11.若(1－2x)2017＝a0＋a1x＋…＋a2017x2017(x∈R)，则＋＋…＋的值为()A．2B．0C．－2D．－12解析：选D．(1－2x)2017＝a0＋a1x＋…＋a2017x2017，令x＝，则(1－2×)2017＝a0＋＋＋…＋＝0，其中a0＝1，所以＋＋…＋＝－1.12.(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.解析：设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①令x...
