1.1直线的倾斜角和斜率课时跟踪检测一、选择题1．下列命题：①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以是－30°；③倾斜角是0°的直线只有一条；④任何一条直线都有唯一的斜率．其中真命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：①真命题．②假，倾斜角范围[0°，180°)．③假，无数条．④假，倾斜角为90°的直线无斜率．答案：B2．直线l过原点(0,0)且不过第二象限，那么l的倾斜角α的取值范围是()A．[0°，90°]B．[90°，180°]C．[0°，90°)D．(0°，90°)解析：画出直线l知，0°≤α≤90°.答案：A3．若直线过A(1,2)，B(4,2＋)，则此直线倾斜角为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：tanα＝＝.∴α＝30°.答案：A4．若A(－2,3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为()A.B．－C．－2D．2解析：由题意知kAB＝kAC，即＝，解得m＝.答案：A5．斜率为2的直线经过(3,5)，(a,7)，(－1，b)三点，则a，b的值是()A．a＝4，b＝0B．a＝－4，b＝－3C．a＝4，b＝－3D．a＝－4，b＝3解析：由题意得得答案：C6．直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是()A．[0,2]B．[0,1]C.D．解析：如图所示，kl1＝0，kl2＝kOA＝2，只有当直线落在阴影部分才符合题意．∴k∈[0,2]．答案：A二、填空题7．已知点P(3,2)，点Q在x轴上，若直线PQ的斜率为－，则点Q的坐标为________．解析：设Q(a,0)，则＝－，解得a＝3＋2.∴点Q的坐标为(3＋2，0)．答案：(3＋2，0)8．已知m＞0，若斜率为m的直线上有两点P(m,3)，Q(1，m)，则此直线的倾斜角为________．解析：由题意知＝m，m－3＝m－m2，m2＝3，又∵m＞0，∴m＝，设直线的倾斜角为α，则tanα＝，α＝60°.答案：60°9．在下列命题中：①一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tanα；②若直线斜率k＝1，则它的倾斜角为45°；③若A(1，－3)，B(1,3)，则直线AB的倾斜角为90°；④若直线过点(1,2)，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过(3,4)点；⑤若直线斜率为，则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点．所有正确命题的序号是________．解析：①当α＝90°时，斜率k不存在，故命题①错误；②倾斜角的正切值为1时，倾斜角为45°，故命题②正确；③直线AB与x轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90°，故命题③正确；④直线过定点(1,2)，斜率为1，又＝1，故直线必过(3,4)，命题④正确；⑤斜率为的直线有无数条，所以直线不一定过(1,1)与(5,4)两点，命题⑤错误．答案：②③④三、解答题10．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB相交．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围(已知tan135°＝－1)．解：如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是[45°，135°]．11．已知点A(1,2)，在坐标轴上求一点P使直线PA的倾斜角为60°.解：①当点P在x轴上时，设点P(a,0)，∵A(1,2)，∴kPA＝＝.又∵直线PA的倾斜角为60°，∴tan60°＝，解得a＝1－.∴点P的坐标为.②当点P在y轴上时，设点P(0，b)，同理可得b＝2－，∴点P的坐标为(0,2－)．综上，点P的坐标为或(0,2－)．12．直线l经过M(2,1)分别交x，y轴正方向于A，B两点，且△AOB的面积为4，求直线l的斜率．解：设A(a,0)，B(0，b)，由题意知ab＝4，即ab＝8.又A、M、B共线，∴kAM＝kBM，即＝，则解得∴A(4,0)，B(0,2)．kl＝kAB＝＝－，∴直线l的斜率为－.13．求经过两点M(－1,2)，N(m,3)(m∈R)的直线的斜率，并讨论m为何值时，倾斜角α是锐角，钝角或直角．解：∵M(－1,2)，N(m,3)，∴tanα＝kMN＝＝(m≠－1)．①当m＋1>0，即m>－1时，kMN>0，∴α为锐角；②当m＋1<0，即m<－1时，kMN<0，∴α为钝角；③当m＋1＝0，即m＝－1时，kMN不存在，∴α＝90°，即α为直角．
