《学案与测评》2011年高考数学总复习 第十四单元第一节 离散型随机变量及其概率分布VIP专享VIP免费

第一节离散型随机变量及其概率分布基础梳理随机试验的结果1.基本概念(1)随机变量：一般地，如果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量.通常用字母X,Y,ξ,η等表示.（2）离散型随机变量：随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量叫做离散型随机变量.（3）一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是，且P(X=)=(i=1,2,…,n)①,则称表12,,...,nxxxixipX……P……1x2xixnx1p2pipnp概率分布表概率分布为离散型随机变量X的，它和①都叫做随机变量X的.2.离散型随机变量的基本性质（1）≥0(i=1,2,…,n);(2).3.两点分布如果随机变量X的分布列为则称X服从0-1分布或两点分布，并记为,或.ip12...1npppX01P1-PPX～0-1分布X～两点分布4.超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件{X=r}发生的概率为,r=0,1,2,…,l,其中l=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*，称分布列为.如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X.记为X～H(n,M,N).并将记为H(r;n,M,N).nrMNMnNCCPXrCX01…lP…00nMNMnNCCC11nMNMnNCCClnlMNMnNCCC超几何分布列服从超几何分布rnrMNMnNCCPXrC题型一随机变量的概念【例1】写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的意义.（1）一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ;(2)投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数的最大值为Y.典例分析分析(1)所取三个球中，可能有一个白球，也可能有两个白球，还可能没有白球.（2）投掷结果为（i,j）,其中1≤i≤6,1≤j≤6,其中i,j∈N,投掷结果用X,Y表示.解(1)ξ可取0,1,2.ξ=0表示所取三球没有白球;ξ=1表示所取三球是1个白球，2个黑球;ξ=2表示所取三球是2个白球，1个黑球.（2）X的可能取值有2,3,4,5,…,12,Y的可能取值为1,2,3,…,6.若以(i,j)表示先后投掷的两枚骰子出现的点数,则X=2表示（1，1）;X=3表示（1，2），（2，1）;X=4表示（1，3），（2，2），（3，1）;…X=12表示(6,6);Y=1表示（1，1）;Y=2表示（1，2），（2，1），（2，2）;Y=3表示（1，3），（2，3），（3，3），（3，1），（3，2）;…Y=6表示（1，6），（2，6），（3，6），…，（6，6），（6，5），…，（6，1）.学后反思研究随机变量的取值关键是准确理解所定义的随机变量的含义，明确随机变量所取的值对应的试验结果是进一步求随机变量取这个值时的概率的基础.1.下列几个结果:①某机场候机室中一天的游客数量为X；②某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X；③某水文站观察到一天中长江的水位为X；④某立交桥一天经过的车辆数为X.其中不是离散型随机变量的是.解析:①、②、④中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故X不是离散型随机变量.答案:③题型二求离散型随机变量的分布列【例2】已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球.设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列.分析本题主要考查互斥事件、独立事件离散型随机变量的分布列，考查运用概率的知识解决实际问题的能力.解ξ可能取的值为0,1,2,3, P(ξ=0)=,P(ξ=1)=2234224615CCCC12211343242246715CCCCCCC又 P(ξ=3)=,∴P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=.∴ξ的分布列为132246130CCC171315153010ξ0123p15715310130学后反思求概率分布（分布列）的一般步骤为：（1）明确随机变量的取值范围;（2）搞清楚随机变量取每个值对应的随机事件，求出随机变量取每个值对应的概率值;（3）列出分布列（一般用表格形式）;（4）检验分布列（用它的两条性质验算）.举一反三2.盒中装有大小相同的10个球,编号分别为0,1,2,…,9,从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”三类情况之一，并求其概率分布.解析：分别用表示“小于5”，“等于5”，“大于5”三种情况，设ξ是随机变量，其可能取值分别是则P(ξ=)=,P(ξ=)=,P(ξ=)=,故ξ的概率分布为123,,xxx123,,xxx1x5...