辅助圆问题1.已知点A、B、C均在半径为R的⊙O上．问题探究(1)如图①，当∠A＝45°，R＝1时，求∠BOC的度数和BC的长度；(2)如图②，当∠A为锐角时，求证：BC＝2R·sinA；问题解决(3)若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN上滑动，且点B、C均与点A不重合．如图③，当∠MAN＝60°，BC＝2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试着探究线段BC在整个滑动过程中，P、A两点之间的距离是否为定值，若是，求出PA的长度；若不是，请说明理由．第1题图(1)解： 点A、B、C均在⊙O上，∴∠BOC＝2∠A＝2×45°＝90°，又 OB＝OC＝1，∴BC＝2；(2)证明：如解图①，作直径CE，连接EB，则∠E＝∠A，CE＝2R，∴∠EBC＝90°，∴sinA＝sinE＝BCEC＝BC2R，∴BC＝2R·sinA;图①图②第1题解图(3)解：如解图②，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK，在Rt△APC中，CK＝12AP＝AK＝PK，同理可得：BK＝AK＝PK，∴CK＝BK＝AK＝PK，∴点A、B、P、C都在以K为圆心，以AK长为半径的⊙K上，由(2)可知sin60°＝BCAP，∴AP＝2sin60°＝433为定值，故线段BC在整个滑动过程中，P、A两点之间的距离是定值，PA的长度为433.2.问题探究(1)如图①，已知四边形ABCD中，AB＝a，BC＝b，∠B＝∠D＝90°，求：①对角线BD长度的最大值；②四边形ABCD的最大面积；(用含有a，b的代数式表示)问题解决(2)如图②，四边形ABCD是某市规划用地示意图，经测量得到如下数据：AB＝20cm，BC＝30cm，∠B＝120°，∠A＋∠C＝195°，请你用所学到的知识探索出它的最大面积，并说明理由．(结果保留根号)第2题图解：(1)① ∠B＝∠D＝90°，∴四边形ABCD是圆内接四边形，AC为圆的直径，∴BD的最大值为AC，此时BD＝AC＝a2＋b2；②连接AC，则AC2＝AB2＋BC2＝a2＋b2＝AD2＋CD2，S△ACD＝12AD·CD≤14(AD2＋CD2)＝14(a2＋b2)．又 S△ABC＝12AB·BC＝12ab，∴四边形ABCD的最大面积为14(a2＋b2)＋12ab＝14(a＋b)2；(2)如解图，连接AC，延长CB，过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E， AB＝20，∠ABE＝180°－∠ABC＝60°，∴在Rt△ABE中，AE＝AB·sin60°＝103，EB＝AB·cos60°＝10，S△ABC＝12AE·BC＝1503. BC＝30，∴EC＝EB＋BC＝40，AC＝AE2＋EC2＝1019， ∠ABC＝120°，∠BAD＋∠BCD＝195°，∴∠D＝45°，则△ACD中，D为定角，对边AC为定边，∴点A、C、D在同一个圆上，作AC、CD中垂线，交点即为圆心O，当点D与AC的距离最大时，△ACD的面积最大，AC的中垂线交⊙O于点D′，交AC于点F，FD′即为所求最大值，第2题解图连接OA、OC，∠AOC＝2∠AD′C＝90°，OA＝OC，∴△AOF为等腰直角三角形，AO＝OD′＝2·(AC2)＝538，OF＝AF＝AC2＝519，D′F＝OD′＋OF＝538＋519，S△ACD′＝12AC·D′F＝12×1019×(538＋519)＝475＋4752，∴S最大＝S△ABC＋S△ACD′＝1503＋475＋4752.3.问题探究(1)如图①，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，作高AD，则△ABC的面积为________；(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在对角线AC上，且CP＝CB，求△PBC的面积；问题解决(3)如图③，△ABC是一块商业用地，其中∠B＝90°，AB＝30米，BC＝40米，某开发商现准备再征一块地，把△ABC扩充为四边形ABCD，使∠D＝90°，是否存在面积最大的四边形ABCD？若存在，求出四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由．第3题图解：(1)12；【解法提示】如解图①，在Rt△ABD中，AB＝5，BD＝12BC＝3，∴AD＝AB2－BD2＝52－32＝4，∴S△ABC＝12BC·AD＝12×6×4＝12.图①图②第3题解图(2)如解图②，过点P作PE⊥BC，垂足为E，则PE∥AB，∴△CPE∽△CAB，∴CPCA＝PEAB，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝AB2＋BC2＝32＋42＝5，∴45＝PE3，∴PE＝125，∴S△PBC＝12BC·PE＝12×4×125＝245；(3)存在．如解图③，作△ABC的外接圆⊙O，第3题解图③ ∠ABC＝90°，∴AC为⊙O的直径，又 ∠ADC＝90°，∴点D在⊙O上，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝30，BC＝40，∴AC＝AB2＋BC2＝302＋402＝50，连接OD，则OD＝12AC＝25，过点D作DN⊥AC，垂足为N， S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，而S△ABC＝12AB·BC＝12×30×40＝600，∴只要S△ACD最大，那么S四边形ABCD最大，又 S△ACD＝12AC...
