数列专题复习（0929）一、证明等差等比数列1．等差数列的证明方法：（1）定义法：1nnaad(常数)（2）等差中项法：112(2)nnnaaan2．等比数列的证明方法：（1）定义法：1nnaqa(常数)（2）等比中项法：211(2)nnnaaang例1.设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛nSn｝的前n项和，求Tn．解：设等差数列｛an｝的公差为d，则Sn=na1＋21n（n－1）d．∴S7＝7，S15＝75，∴,7510515,721711dada即,57,1311dada解得a1＝－2，d＝1．∴nSn＝a1＋21（n－1）d＝－2＋21（n－1）． 2111nSnSnn，∴数列｛nSn｝是等差数列，其首项为－2，公差为21，∴Tn＝41n2－49n．例2．设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：3tSn－（2t+3）Sn－1=3t（t>0，n=2，3，4，⋯）求证：数列{an}是等比数列；解：（1）由a1=S1=1，S2=1+a2，得a2=ttaatt323,32312又3tSn－（2t+3）Sn－1=3t①3tSn－1－（2t+3）Sn－2=3t②①－②得3tan－（2t+3）an－1=0∴ttaann3321，（n=2，3，⋯）所以{an}是一个首项为1，公比为tt332的等比数列.练习：已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，⋯（1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；（2）设Tn=(1+a1)(1+a2)⋯(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；答案.(2)213nnT,2131nna;二．通项的求法（1）利用等差等比的通项公式(2)累加法：1()nnaafn例3．已知数列na满足211a，nnaann211，求na。解：由条件知：111)1(1121nnnnnnaann分别令)1(,,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累加之，即)()()()(1342312nnaaaaaaaa)111()4131()3121()211(nn所以naan111211a，nnan1231121（3）构造等差或等比1nnapaq或1()nnapafn例4．已知数列na满足*111,21().nnaaanN求数列na的通项公式；解：*121(),nnaanNQ112(1),nnaa1na是以112a为首项，2为公比的等比数列。12.nna即*21().nnanN例5．已知数列na中，11a,1111()22nnnaa，求na.解：在1111()22nnnaa两边乘以12n得：112(2)1nnnnaa令2nnnba，则11nnbb,解之得：111nbbnn,所以122nnnnbna.练习:已知数列}a{n满足）（2n12a2an1nn，且81a4。（1）求321aaa，，；（2）求数列}a{n的通项公式。解：（1）33a13a5a321，，（2）n1nnn1nn2)1a(21a12a2a1n21a121a21ann1n1nnn∴12)1n(ann（4）利用1(2)1(1)nnSSnSnna例6．若nS和nT分别表示数列{}na和{}nb的前n项和，对任意正整数2(1)nan，34nnTSn.求数列{}nb的通项公式；解：22(1)4231anadSnnnnQ23435TSnnnnn⋯⋯2分当1,35811nTb时当2,6262.1nbTTnbnnnnn时⋯⋯4分练习：1.已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an解: 10Sn=an2+5an+6，①∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②由①－②得10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 an+an－1>0，∴an－an－1=5(n≥2)当a1=3时，a3=13，a15=73a1，a3，a15不成等比数列∴a1≠3;当a1=2时，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，∴a1=2，∴an=5n－32．设数列na的前n项的和14122333nnnSa，1,2,3,nggg（Ⅰ）求首项1a与通项na；（Ⅱ）设2nnnTS，1,2,3,nggg，证明：132niiT解：（I）21114122333aSa，解得：12a2111144122333nnnnnnnaSSaa11242nnnnaa所以数列2nna是公比为4的等比数列所以：111224nnnaa得：42nnna（其中n为正整数）（II）1114124122242221213333333nnnnnnnnSa112323112221212121nnnnnnnnTS所以：1113113221212niniT（5）累积法nnanfa)(1转化为)(1nfaann，逐商相乘.例7．已知数列na满足321a，nnanna11，求na。解：由条件知11nnaann，分别令)1(,,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累乘之，即3241231nnaaaaaaaann1433221naan11又321a，nan32练习：1.已知31a，nnanna23131)1(n，求na。解：13(1)13(2)1321313(1)23(2)232232nnnaann3437526331348531nnnnnL。2．已知数列{an}，满足a1=1，1321)1(32nnanaaaa(n≥2)，则{an}的通项1___na12nn解：由已知，得nnnnaanaaaa13211)1(32，用此式减去已知式，得当2n时，nnnnaaa1，即nnana)1(1，又112aa，naaaaaaaaann13423121,,4,3,1,1，将以上n个式子相乘，得2!nan)2(n（6）倒数变形：1n...
