2.2.2双曲线的简单几何性质一、选择题1．已知双曲线与椭圆＋＝1共焦点，它们的离心率之和为，双曲线的方程应是()A.－＝1B.－＝1C．－＋＝1D．－＋＝1[答案]C[解析] 椭圆＋＝1的焦点为(0，±4)，离心率e＝，∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为－＝＝2，∴双曲线方程为：－＝1.2．焦点为(0，±6)且与双曲线－y2＝1有相同渐近线的双曲线方程是()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1[答案]B[解析]与双曲线－y2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为－y2＝λ(λ≠0)，又因为双曲线的焦点在y轴上，∴方程可写为－＝1.又 双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12.∴双曲线方程为－＝1.3．若0
0.∴c2＝(a2－k2)＋(b2＋k2)＝a2＋b2.4．中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x[答案]D[解析] ＝，∴＝＝，∴＝，∴＝，∴＝.又 双曲线的焦点在y轴上，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.5．(·四川文，8)已知双曲线－＝1(b>0)的左右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·＝()A．－12B．－2C．0D．4[答案]C[解析]本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质．由题意得b2＝2，∴F1(－2,0)，F2(2,0)，又点P(，y0)在双曲线上，∴y＝1，∴·＝(－2－，－y0)·(2－，－y0)＝－1＋y＝0，故选C.6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±2xC．y＝±xD．y＝±3x[答案]B[解析]如图，分别过双曲线的右顶点A，右焦点F作它的渐近线的垂线，B、C分别为垂足，则△OBA∽△OCF，∴＝＝，∴＝，∴＝2，故渐近线方程为：y＝±2x.7．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为()A．2B.C.D.[答案]C[解析]双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y＝±x，∴＝1，∴＝＝1，∴c2＝2a2，e＝＝.8．双曲线－＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于()A.B．3C．4D．2[答案]C[解析] 焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y＝±x，∴一个焦点(5,0)到渐近线y＝x的距离为4.9．过双曲线－＝1(a>0，b>0)上任意一点P引与实轴平行的直线，交两渐近线于M、N两点，则·的值为()A．a2B．b2C．2abD．a2＋b2[答案]A[解析]特值法：当点P在双曲线的一个顶点时，·＝a2.10．(·浙江理，8)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为()A．3x±4y＝0B．3x±5y＝0C．4x±3y＝0D．5x±4y＝0[答案]C[解析]如图：由条件|F2A|＝2a，|F1F2|＝2c又知|PF2|＝|F1F2|，知A为PF1中点，由a2＋b2＝c2，有|PF1|＝4b由双曲线定义：|PF1|－|PF2|＝2a，则4b－2c＝2a∴2b＝c＋a，又有c2＝a2＋b2，(2b－a)2＝a2＋b2，∴4b2－4ab＋a2＝a2＋b23b2＝4ab，∴＝，∴渐近线方程：y＝±x.故选C.二、填空题11．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则b的取值范围是________．[答案]－120)相切，则r＝________.[答案][解析]本题考查双曲线的几何性质、直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式．双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x＝±x，∴x±2y＝0，由题意，得r＝＝.三、解答题15．已知动圆与⊙C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与⊙C2：(x－3)2＋y2＝1内切，求动圆圆心M的轨迹方程．[解析]设动...
