§7向量应用举例7.1点到直线的距离公式课时目标1.了解直线的方向向量、法向量.2.能利用直线的法向量推导点到直线的距离公式.3.能利用直线的法向量判断两直线的位置关系.1.直线的法向量(1)直线l:ax+by+c=0(a2+b2≠0)的一个方向向量是__________,它的一个法向量是__________.(2)直线l:y=kx+b的一个方向向量是__________,它的一个法向量是__________.所以,一条直线的法向量有__________个,它们都是__________向量.2.点到直线的距离公式设点M(x0,y0)为平面内任一点,则点M到直线l:ax+by+c=0(a2+b2≠0)的距离d=_____________________________________________________________________.3.两平行线间距离直线l1:ax+by+c1=0与直线l2:ax+by+c2=0(a2+b2≠0且c1≠c2)的距离d=_____________________________________________________________________.4.两直线的位置关系设直线l1:a1x+b1y+c1=0,直线l2:a2x+b2y+c2=0的法向量依次为n1,n2.则:(1)l1⊥l2⇔______________⇔______________________________________________;(2)l1与l2重合或平行⇔__________⇔______________________.一、选择题1.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是()A.B.C.D.2.已知三点A(-2,-3),B(19,4),C(-1,-6),则△ABC是()A.以A为直角顶点的直角三角形B.以B为直角顶点的直角三角形C.以C为直角顶点的直角三角形D.锐角三角形或钝角三角形3.已知直线l1:(m+2)x+3my+1=0与直线l2:(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直,则实数m的值是()A.-2B.C.-2或D.-或24.已知直线l1:ax+2y+6=0与l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行,则实数a的值是()A.2B.-1C.2或-1D.5.已知直线l1:3x+4y-12=0,l2:7x+y-28=0,则直线l1与l2的夹角是()A.30°B.45°C.135°D.150°6.已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行,则两平行线间的距离是()A.B.C.D.二、填空题7.过点A(4,a)和点B(5,b)的直线与直线y=x+m平行,则|AB|的值为________.8.过点A(-2,1)且平行于向量a=(3,1)的直线方程为________________.9.过点A(2,3)且垂直于向量a=(2,1)的直线方程是____________.10.两条平行线l1:3x+4y-2=0与l2:6x+8y-3=0之间的距离为________.三、解答题11.已知△ABC的三个顶点A(0,-4),B(4,0),C(-6,2),点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点.(1)求直线DE、EF、FD的方程;(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程.12.已知M(x0,y0)为直线l:Ax+By+C=0(AB≠0)外一点.(1)求过点M与直线l垂直的直线l1;(2)求过点M与直线l平行的直线l2.能力提升13.已知向量c=(0,1),i=(1,0),经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A(0,1),以i-2λc为方向向量的直线交于点P,其中λ∈R,求点P的轨迹方程.14.如图所示,在直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(-3,4),若点C在∠AOB的平分线上,且|OC|=2,求向量OC的坐标.1.若直线方程为ax+by+c=0(a2+b2≠0),则(a,b)就是它的一个法向量,(b,-a)是它的一个方向向量;若直线方程为y=kx+b,则(1,k)就是它的一个方向向量,(k,-1)是它的一个法向量.2.点M(x0,y0)到直线l:ax+by+c=0的距离d=.利用该公式求点到直线的距离必须先将方程化为一般式.利用点到直线的距离公式可以推导出两条平行线ax+by+c1=0与ax+by+c2=0间的距离为.3.直线的法向量或方向向量在求两直线夹角、计算点到直线的距离或判断两条直线的位置关系中都有着重要应用,应熟练掌握.§7向量应用举例7.1点到直线的距离公式答案知识梳理1.(1)(b,-a)(a,b)(2)(1,k)(k,-1)无数多共线2.3.4.(1)n1·n2=0a1a2+b1b2=0(2)n1∥n2a1b2-a2b1=0作业设计1.D2.A3.C[(m+2)(m-2)+3m(m+2)=(m+2)(4m-2)=0,∴m=-2或.]4.B[直线l1的法向量n1=(a,2),直线l2的法向量n2=(1,a-1), l1∥l2,∴n1∥n2,∴a(a-1)-1×2=0,解得:a=-1或a=2.当a=-1时,l1:x-2y-6=0,l2:x-2y=0,∴l1∥l2.当a=2时,l1:x+y+3=0,l2:x+y+3=0.∴l1与l2重合,a=2舍....