D2_5函数的微分VIP免费

目录上页下页返回结束二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用*四、微分在估计误差中的应用第五节一、微分的概念函数的微分第二章目录上页下页返回结束一、微分的概念引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,面积为A,则,2xA0xx面积的增量为xx020xAxx02)(x关于△x的线性主部高阶无穷小0x时为故称为函数在的微分0x当x在0x取得增量x时,0x变到,0xx边长由其目录上页下页返回结束的微分,定义:若函数在点的增量可表示为0x(A为不依赖于△x的常数)则称函数)(xfy而称为xA记作即xAyd定理:函数在点可微的充要条件是0x)(xoxA即xxfy)(d0在点可微,目录上页下页返回结束定理:函数证:“必要性”已知在点可微,则)()(00xfxxfy))((limlim00xxoAxyxxA故)(xoxA在点可导,且在点可微的充要条件是0x在点处可导,且即xxfy)(d0目录上页下页返回结束定理:函数在点可微的充要条件是0x在点处可导,且即xxfy)(d0“充分性”已知)(lim00xfxyx)(0xfxy)0lim(0xxxxfy)(0故)()(0xoxxf即xxfy)(d0在点可导,则目录上页下页返回结束说明:0)(0xf时,xxfy)(d0)()(0xoxxfyyyxdlim0xxfyx)(lim00xyxfx00lim)(11所以0x时yyd很小时,有近似公式xyyd与是等价无穷小,当故当目录上页下页返回结束微分的几何意义xxfy)(d0xx0xyO)(xfy0xyydxtan当很小时,xyyd时，当xy则有xxfyd)(d从而)(ddxfxy导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分,为称x记作xdxyxd记目录上页下页返回结束例如,,3xyyd02.0d2xx23xxd02.0d2xx24.0,arctanxyydxxd112基本初等函数的微分公式(见P116表)又如,目录上页下页返回结束二、微分运算法则设u(x),v(x)均可微,则(C为常数)分别可微,的微分为xxufd)()(uduufyd)(d微分形式不变5.复合函数的微分则复合函数vuddvuuvdd目录上页下页返回结束例1.求解:2e11dxy)e1(d2x2e11x)(d2xxxxxd2ee1122xxxxde1e2222ex目录上页下页返回结束例2.设求解:利用一阶微分形式不变性,有0))d(cos()sin(dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(dyxxydd)sin(cosyxxyxyxsin)sin(例3.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:xxd)d()1(ttdcos)d()2(221xtsin1说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.CC注意数学中的反问题往往出现多值性.)(为任意常数C注意:目录上页下页返回结束三、微分在近似计算中的应用)()(0xoxxfy当x很小时,)()(00xfxxfyxxf)(0xxfxfxxf)()()(000xxx0令使用原则:;)(,)()100好算xfxf.)20靠近与xx))(()()(000xxxfxfxf得近似等式:目录上页下页返回结束特别当xx,00很小时,xffxf)0()0()(常用近似公式:x1很小)x(xxxx1证明:令)1()(xxf得,1)0(f)0(f,很小时当x目录上页下页返回结束180πdx的近似值.解:设,sin)(xxf取则π18029sin6πsin6πcos2123)0175.0()180π(例4.求29sin目录上页下页返回结束的近似值.解:2433551)2243(51)24321(33)2432511(004938.3例5.计算xx1)1(目录上页下页返回结束例6.有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,解:已知球体体积为镀铜体积为V在时体积的增量01.01RRRR2π401.01RR)(cm13.03因此每只球需用铜约为16.113.09.8(g)用铜多少克.估计一下,每只球需要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,目录上页下页返回结束*四、微分在估计误差中的应用某量的精确值为A,其近似值为a,称为a的绝对误差称为a的相对误差若称为测量A的绝对误差限称为测量A的相对误差限目录上页下页返回结束误差传递公式:已知测量误差限为,x按公式计算y值时的误差ydxxf)(故y的绝对误差限约为xyxf)(相对误差...