§5简单复合函数的求导法则课时目标1.理解复合函数的变量之间的关系，会将复合函数分解成简单函数.2.理解复合函数的求导法则，会求形如y＝f(ax＋b)(a≠0)的函数的导数．1．复合函数对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))．其中u为中间变量．2．复合函数的导数函数y＝f(φ(x))的导数为y′x＝[f(φ(x))]′＝f′(u)·φ′(x)．一、选择题1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()A．1B．2C．3D．42．已知函数f(x)在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为()A．f(x)＝(x－1)3＋3(x－1)B．f(x)＝2(x－1)C．f(x)＝2(x－1)2D．f(x)＝(x－1)3．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时()A．f′(x)>0，g′(x)>0B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0D．f′(x)<0，g′(x)<04．函数y＝sin(4x＋5)的导数是()A．y′＝cos(4x＋5)B．y′＝4cos(4x＋5)C．y′＝4sin(4x＋5)D．y′＝－4cos(4x＋5)5．函数y＝(3x－6)5的导数是()A．y′＝5(3x－6)4B．y′＝15(3x－6)4C．y′＝5(3x)4D．y′＝－15(3x－6)46．函数y＝(2010－8x)8的导数为()A．8(2010－8x)7B．－64xC．64(8x－2010)7D．64(2010－8x)7二、填空题7．已知函数y＝f(x)的导数为f′(x)＝2x，则函数y＝f(2x－1)的导数是__________．8．函数y＝cos在点P处的切线斜率为________．9．函数y＝log3(2x2＋1)的导数是______________．三、解答题10．求下列函数的导数．(1)y＝sin2x；(2)y＝(sinx＋1)2.11．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4e－x＋1－2在点M(1，－3)处的切线平行的直线方程．能力提升12．曲线y＝(2x－2)3在点(2,8)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为多少？13．求函数y＝ln(2x－1)上的点到直线l：2x－y＋3＝0的最短距离．1．复合函数求导的关键是选择好中间变量，然后按公式求导．2．利用复合函数的导数，可以解决曲线的切线等数学问题．答案作业设计1．D[y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.]2．A[显然选项B、C、D不符合题意，对于选项A，f(x)＝(x－1)3＋3(x－1)，因为f′(x)＝3(x－1)2＋3，所以f′(1)＝3.]3．B[当x<0时，－x>0，因为f(x)＝－f(－x)，g(x)＝g(－x)，所以，f′(x)＝[－f(－x)]′＝f′(－x)>0，g′(x)＝[g(－x)]′＝－g′(－x)<0.]4．B[函数可以看作是y＝sinu和u＝4x＋5的复合，所以y′＝(sinu)′(4x＋5)′＝4cos(4x＋5)．]5．B[函数可以看作是y＝u5和u＝3x－6的复合，所以y′＝(u5)′(3x－6)′＝15(3x－6)4.]6．C[y′＝[(2010－8x)8]′＝8(2010－8x)7·(2010－8x)′＝－64(2010－8x)7＝64(8x－2010)7.]7．8x－4解析令u＝2x－1，f(2x－1)＝f′(u)(2x－1)′＝2u·2＝4(2x－1)＝8x－4.8．0解析y′＝′＝－2sin，x＝时，y′＝－2sin＝0.9.解析令y＝log3u，u＝2x2＋1，则y′＝(log3u)′(2x2＋1)′＝·(4x)＝.10．解(1)引入中间变量u＝φ(x)＝2x，则函数y＝sin2x是由函数f(u)＝sinu和u＝φ(x)＝2x复合而成，因f′(u)＝cosu，u′＝φ′(x)＝2，由复合函数求导法则可得，y′＝(sin2x)′＝f′(u)φ′(x)＝2cos2x.(2)引入中间变量u＝φ(x)＝sinx＋1，则函数y＝(sinx＋1)2是由函数f(u)＝u2和u＝φ(x)＝sinx＋1复合而成，因f′(u)＝2u，u′＝φ′(x)＝cosx，由复合函数求导法则可得y′＝[sinx＋1)2]′＝f′(u)φ′(x)＝2(sinx＋1)cosx.11．解因为y′＝(3x2－4e－x＋1－2)′＝6x＋4e－x＋1，所以过点(1，－3)切线的斜率为k＝y′＝6＋4＝10，所以过P(－1,2)与切线平行的直线方程为y－2＝10(x＋1)，即y＝10x＋12.12．解因为f′(x)＝′＝6(2x－2)2，所以f′(2)＝6(4－2)2＝24，曲线在(2,8)处的切线方程为y－8＝24(x－2)，切线与x轴的交点为.所以，三角形面积为·8＝.13．解因为y＝ln(2x－1)可看成y＝lnu和u＝2x－1的复合函数，所以y′＝[ln(2x－1)]′＝(lnu)′(2x－1)′＝·2＝，设切点坐标P(x0，y0)，根据导数的几何意义，则有＝2，所以x0＝1，y0＝ln(2x0－1)＝0，所以切点为P(1,0)，故所求的最短距离d＝＝.
