【导与练】2014-2015学年数学必修五（人教版A版）同步课件第二章数列25等比数列的前n项和第二课时数列求和习题课[数理化网]VIP免费

第二课时/数列求和习题课课标要求学法指导1.通过具体实例,理解并掌握数列的分组求和法.2.通过具体实例,理解并掌握数列的裂项求和法.3.通过具体实例,理解并掌握数列求和的错位相减法.求数列的前n项和时,应先考查其通项公式,根据通项公式的特点,再来确定选用何种方法,数列求和的实质就是一个代数式的化简问题.知识探究题型探究达标检测1.公式法求和(1)等差数列的前n项和公式Sn==;(2)等比数列前n项和公式Sn=1(1)(1)naqq知识探究——自主梳理思考辨析1()2nnaa1(1)2nnnad1(1)1naqq2.分组法求和有些数列,通过适当分组,可把它拆分成等差数列和等比数列求和.3.裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.4.错位相减法求和如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,在求和式子的左、右两边同乘等比数列的公比,然后错位相减,使其转化为等比数列的求和问题.题型探究——典例剖析举一反三题型一分组法求和【例1】已知数列{cn}:112,214,318,…,试求{cn}的前n项和.解:令{cn}的前n项和为Sn,则Sn=112+214+318+…+12nn=(1+2+3+…+n)+11112482n=(1)2nn+11122112n=(1)2nn+1-12n.即数列{cn}的前n项和为Sn=22nn+1-12n.题后反思当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列,但如果它的通项公式可以拆分为几项的和,而这些项又构成等差数列或等比数列,那么就可以用分组求和法,即原数列的前n项和等于拆分成的每个数列前n项和的和.跟踪训练1-1:在各项均为负数的数列{an}中,已知点(an,an+1)(n∈N*)在函数y=23x的图象上,且a2·a5=827.(1)求证:数列{an}是等比数列,并求出其通项;(2)若数列{bn}的前n项和为Sn,且bn=an+n,求Sn.(1)证明:因为点(an,an+1)(n∈N*)在函数y=23x的图象上,所以an+1=23an,即1nnaa=23,故数列{an}是公比q=23的等比数列.因为a2a5=827,则a1q·a1q4=827,即21a523=323,由于数列{an}的各项均为负数,则a1=-32,所以an=-223n.(2)解:由(1)知,an=-223n,bn=-223n+n,Sn=b1+b2+…+bn=-10122222++3333n+1+2+…+n=-122133213n+12n·n所以Sn=3·123n+292nn.题型二裂项相消法求和【例2】(2013年高考新课标全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列21211nnaa的前n项和.解:(1)设{an}的公差为d,则Sn=na1+(1)2nnd.由已知可得11330,5105.adad解得a1=1,d=-1.故{an}的通项公式为an=2-n.(2)由(1)知21211nnaa=1(32)(12)nn=12112321nn,从而数列21211nnaa的前n项和为1211111111132321nn=12nn.题后反思应用裂项求和法的关键是将数列的通项分解为两项之差,且这两项一定是同一个数列的相邻(相间)的两项,然后通过正负抵消,达到化简求和的目的.跟踪训练2-1:(2012年高考大纲全国卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列11nnaa的前100项和为()(A)100101(B)99101(C)99100(D)101100解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d. a5=5,S5=15,∴1145,5(51)515,2adad∴11,1,ad∴an=a1+(n-1)d=n,∴11nnaa=1(1)nn=1n-11n,∴数列11nnaa的前100项和为1-12+12-13+…+1100-1101=1-1101=100101.故选A.题型三错位相减法求和【例3】(12分)(2012年高考天津卷)已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)记Tn=a1b1+a2b2+…+anbn,n∈N*,证明Tn-8=an-1bn+1(n∈N*,n≥2).名师导引:(1)如何求an、bn?(由条件列方程组求出公差d、公比q即可)(2)和...