高中数学 3.2.5距离(选学)同步训练 新人教B版选修2-1VIP免费

3.2.5距离(选学)一、基础过关1．已知△ABC的顶点A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD的长等于()A．3B．4C．5D．62.如图，在60°的二面角α—AB—β内，ACβ，BDα，AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，且AC＝AB＝BD＝1，则CD的长为()A．3B.C．2D.3.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是()A.B.C.D.4．在直角坐标系中，设A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标平面折成120°的二面角后，则A、B两点间的距离为()A．2B.C.D．35．如图所示，在直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为()A.B.C.D．26．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是()A.B.C.D.二、能力提升7．已知A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，则点D到平面ABC的距离为______．8．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为________．9．棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BC、CD的中点，则BD到平面EFD1B1的距离为________．10．在三棱锥B—ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离．11.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，M、N、E、F分别为A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离．三、探究与拓展12.如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D、F、G分别为CC1、C1B1、C1A1的中点．(1)求证：B1D⊥平面ABD；(2)求证：平面EGF∥平面ABD；(3)求平面EGF与平面ABD的距离．答案1．C2．D3．B4．A5．B6．B7.8.9.10．解如图所示，以AD的中点O为原点，以OD、OC所在直线为x轴、y轴，过O作OM⊥面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系，则A，B，C，D，∴AC＝，AB＝，DC＝，设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，则，∴y＝－x，z＝－x，可取n＝(－，1,3)，代入d＝，得d＝＝，即点D到平面ABC的距离是.11．解如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)，从而EF＝(2,2,0)，MN＝(2,2,0)，AM＝(－2,0,4)，BF＝(－2,0,4)，∴EF＝MN，AM＝BF.∴EF∥MN，AM∥BF.又EF、BF为平面EFBD内两相交的直线，MN、AM为平面AMN内两相交的直线．∴平面AMN∥平面EFBD.设n＝(x，y，z)是平面EFBD的法向量，从而解得取z＝1，得n＝(2，－2,1)，由于AB＝(0,4,0)，所以点A到平面EFBD的距离d＝＝.即平面AMN与平面EFBD间的距离为.12．(1)证明如图所示，由条件知，BA、BC、BB1两两互相垂直，以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．由条件知，B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设BA＝a，则A(a,0,0)．∴BA＝(a,0,0)，BD＝(0,2,2)，B1D＝(0,2，－2)．B1D·BA＝0，B1D·BD＝0＋4－4＝0.∴B1D⊥BA，B1D⊥BD，又∵BD∩BA＝B，因此B1D⊥平面ABD.(2)证明由E、F、G的定义知，E(0,0,3)、G、F(0,1,4)．∴EG＝，EF＝(0,1,1)，B1D·EG＝0＋2－2＝0，B1D·EF＝0＋2－2＝0.∴B1D⊥EG，B1D⊥EF，又EG∩EF＝E，∴B1D⊥平面EFG，结合(1)可知，平面EGF∥平面ABD.(3)解由(1)、(2)知，BF＝(0,1,4)，B1D＝(0,2，－2)是平面ABD的法向量，∴BF在B1D上的射影长＝＝＝.∴点F到平面ABD的距离为.由(2)知，面EGF与面ABD的距离等于点F到面ABD的距离，∴两平面间距离为.