1.5.3定积分的概念一、基础过关1．下列命题不正确的是()A．若f(x)是连续的奇函数，则ʃf(x)dx＝0B．若f(x)是连续的偶函数，则ʃf(x)dx＝2ʃf(x)dxC．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则ʃf(x)dx>0D．若f(x)在[a，b]上连续且ʃf(x)dx>0，则f(x)在[a，b]上恒正2．定积分(ʃ－3)dx等于()A．－6B．6C．－3D．33．已知ʃxdx＝2，则ʃxdx等于()A．0B．2C．－1D．－24．由曲线y＝x2－4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是()A．(ʃx2－4)dxB.C．|ʃx2－4|dxD．(ʃx2－4)dx＋(ʃx2－4)dx5．设a＝ʃxdx，b＝ʃx2dx，c＝ʃx3dx，则a，b，c的大小关系是()A．c>a>bB．a>b>cC．a＝b>cD．a>c>b6．若|56ʃx|dx≤2016，则正数a的最大值为()A．6B．56C．36D．2016二、能力提升7．由y＝sinx，x＝0，x＝－π，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S＝________.8．计算定积分dʃx＝________.9．设f(x)是连续函数，若ʃf(x)dx＝1，ʃf(x)dx＝－1，则ʃf(x)dx＝________.10．利用定积分的定义计算(ʃ－x2＋2x)dx的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．11．用定积分的意义求下列各式的值：(1)(2ʃx＋1)dx；(2)ʃ－dx.12．limln等于()A．lnʃ2xdxB．2lnʃxdxC．2ln(1ʃ＋x)dxD．lnʃ2(1＋x)dx三、探究与拓展13．已知函数f(x)＝，求f(x)在区间[－2,2π]上的积分．答案1．D2．A3．D4．C5．B6．A7．－sinʃxdx8．π9．－210．解令f(x)＝－x2＋2x.(1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分为n个小区间[1＋，1＋](i＝1,2…，，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.(2)近似代替、作和取ξi＝1＋(i＝1,2…，，n)，则Sn＝∑f(1＋)·Δx＝∑[－(1＋)2＋2(1＋)]·＝－[(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2…＋＋(2n)2]＋[(n＋1)＋(n＋2)＋(n＋3)…＋＋2n]＝－[－]＋·＝－(2＋)(4＋)＋(1＋)(2＋)＋3＋，(3)取极限(ʃ－x2＋2x)dx＝limSn＝lim[－(2＋)(4＋)＋(1＋)(2＋)＋3＋]＝，(ʃ－x2＋2x)dx＝的几何意义为由直线x＝1，x＝2，y＝0与曲线f(x)＝－x2＋2x所围成的曲边梯形的面积．11．解(1)在平面上，f(x)＝2x＋1为一条直线，(2ʃx＋1)dx表示直线f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3与x轴围成的直角梯形OABC的面积，如图(1)所示，其面积为S＝(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知(2ʃx＋1)dx＝12.(2)由y＝可知，x2＋y2＝1(y≥0)图象如图(2)，由定积分的几何意义知ʃ－dx等于圆心角为120°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和．S弓形＝×π×12－×1×1×sinπ＝－，S矩形＝|AB|·|BC|＝2××＝，∴ʃ－dx＝－＋＝＋.12．B13．解由定积分的几何意义知ʃx3dx＝0，2ʃxdx＝＝π2－4，cosʃxdx＝0，由定积分的性质得ʃf(x)dx＝ʃx3dx＋2ʃxdx＋cosʃxdx＝π2－4.
