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等差数列的前n项和VIP免费

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3.33.3等差数列的前等差数列的前nn项和项和3.33.3等差数列的前等差数列的前nn项和项和问题2:1+2+3+…+100=?这个问题,德国著名数学家高斯(1777年—1855年)10岁时曾很快求出它的结果。(你知道应如何算吗?)高斯的算法是:首项与末项的和:1+100=101,第2项与倒数第2项的和:2+99=101,第3项与倒数第3项的和:3+98=101,……第50项与倒数第50项的和:50+51=101,于是所求的和是:50502100101这个问题,可看成是求等差数列1,2,3,…,n,…的前100项的和。根据等差数列的定义,上式用a1和d可写成:Sn=a1+(a1+d)+···+[a1+(n-1)d]①把项的次序反过来,Sn又可用an和d表示成:Sn=an+(an-d)+···+[an-(n-1)d]②把①、②两边分别相加,得:等差数列前等差数列前nn项的和项的和即Sn=a1+a2+…+an设等差数列{an}前n项的和为SnSn=an+an-1+…+a1把项的次序反过来,=n(a1+an)个nnnnnaaaaaaS)()()(2111由此得到等差数列的{an}前n项和的公式2)(1nnaanS即:等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。上面的公式又可以写成dnnnaSn2)1(1由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d两个公式的共同点是需知a1和n,不同点是前者还需知an,后者还需知d,解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。例1:某长跑运动员七天里每天的训练量(单位:m)是:750080008500900095001000010500这位长跑运动员七天共跑了多少米?解:这位长跑运动员每天的训练量成等差数列,记为{an},其中a1=7500,a7=10500。根据等差数列前n项和公式,得:S7=7×(7500+10500)/2=63000。答:这位长跑运动员七天共计跑了63000米。例2等差数列10,6,2,2,…前多少项的和是54?解:设题中的等差数列为{an},前n项和是Sn,则a1=10,d=6(10)4,设Sn=54,根据等差数列前n项和公式,得5442)1(10nnn整理,得02762nn解得n19,n23(舍去)因此等差数列-10,-6,-2,2,…前9项的和是54。例3求集合M={mm=7n,nN*,且m<100}的元素个数,并求这些元素的和。解:由7n<100,得7100n即由于满足上面不等式的正整数n共有14个,所以集合M中的元素共有14个,将它们从小到大列出,得7,72,73,…,714即7,14,21,…,98这个数列是等差数列,记为{an},其中a1=7,a14=98.因此,7352)987(1414S答:集合M共有14个元素,它们的和等于735。课本课本PP118118第第11、、22、、33、、44、、55题题作业

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