等差数列的前n项和VIP免费

3.33.3等差数列的前等差数列的前nn项和项和3.33.3等差数列的前等差数列的前nn项和项和问题2：1+2+3+…+100=？这个问题，德国著名数学家高斯（1777年—1855年）10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）高斯的算法是：首项与末项的和：1+100=101，第2项与倒数第2项的和：2+99=101，第3项与倒数第3项的和：3+98=101，……第50项与倒数第50项的和：50+51=101，于是所求的和是：50502100101这个问题，可看成是求等差数列1，2，3，…，n，…的前100项的和。根据等差数列的定义，上式用a1和d可写成：Sn=a1+(a1+d)+···+[a1+(n-1)d]①把项的次序反过来，Sn又可用an和d表示成：Sn=an+(an-d)+···+[an-(n-1)d]②把①、②两边分别相加，得：等差数列前等差数列前nn项的和项的和即Sn=a1+a2+…+an设等差数列{an}前n项的和为SnSn=an+an-1+…+a1把项的次序反过来，=n(a1+an)个nnnnnaaaaaaS)()()(2111由此得到等差数列的{an}前n项和的公式2)(1nnaanS即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。上面的公式又可以写成dnnnaSn2)1(1由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d两个公式的共同点是需知a1和n，不同点是前者还需知an，后者还需知d，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。例1：某长跑运动员七天里每天的训练量（单位:m)是：750080008500900095001000010500这位长跑运动员七天共跑了多少米？解：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，记为｛an｝,其中a1=7500，a7=10500。根据等差数列前n项和公式，得：S7=7×（7500+10500）/2=63000。答：这位长跑运动员七天共计跑了63000米。例2等差数列10，6，2，2，…前多少项的和是54？解：设题中的等差数列为{an}，前n项和是Sn，则a1=10，d=6(10)4,设Sn=54，根据等差数列前n项和公式，得5442)1(10nnn整理，得02762nn解得n19，n23(舍去)因此等差数列-10，-6，-2，2，…前9项的和是54。例3求集合M={mm=7n,nN*,且m<100}的元素个数，并求这些元素的和。解：由7n<100，得7100n即由于满足上面不等式的正整数n共有14个，所以集合M中的元素共有14个，将它们从小到大列出，得7，72，73，…，714即7，14，21，…，98这个数列是等差数列，记为{an}，其中a1=7,a14=98.因此，7352)987(1414S答：集合M共有14个元素，它们的和等于735。课本课本PP118118第第11、、22、、33、、44、、55题题作业