第十一章计数原理、随机变量及分布列第3课时二项式定理(理科专用)1.的二项展开式中,常数项是第________项.答案:10解析:Tr+1=C15-r·r=C·x(r=0,1,2,…,14),当r=9时,Tr+1为常数项.2.若9的展开式中x3的系数为,则常数a=________.答案:4解析:Tr+1=C9-rr=(-1)rra9-rCx-9,令-9=3,r=8,则(-1)88aC=a=,a=4.3.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,那么a1+a2+…+a7=________.答案:-2解析:令x=0,得a0=1,再令x=1,得-1=a0+a1+a2+…+a7,∴a1+a2+…+a7=-2.4.(a+x)5展开式中x2的系数为10,则实数a=________.答案:1解析:根据公式Tr+1=Can-rbr得含有x2的项为T3=Ca3x2=10x2,所以a=1.5.(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中的x3的系数是________.答案:15解析:原式==,(x-1)6中含有x4的项是Cx4(-1)2=15x4,所以展开式中的x3的系数是15.6.若(2-x)6展开式中第二项小于第一项,但不小于第三项,则x的取值范围为________.答案:-<x≤0解析:由题意得26>C·25·(-x)≥C·24·(-x)2,即解得即-<x≤0.7.在(1-x3)(1+x)10的展开中,x5的系数是________.答案:207解析:(1-x3)(1+x)10=(1+x)10-x3(1+x)10=(C-C)x5+…=207x5+….8.若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=________.答案:1解析:(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+)4·(2-)4=1.9.若二项式的展开式中的常数项为第五项.求:(1)n的值;(2)展开式中系数最大的项.解:(1)∵Tr+1=C,x的指数为-+,∵的展开式中的常数项为第五项,∴r=4,解得n=10.(2)∵Tr+1=C,其系数为C·210-r.设第k+1项的系数最大,则化简得解得≤k≤,∴k=3.即第四项系数最大,T4=C·27·x-=15360x-.10.求证:C+2C+3C+…+nC=n·2n-1.证明:(证法1)倒序相加:设S=C+2C+3C+…+nC,①∵S=nC+(n-1)C+(n-2)C+…+2C+C,②又C=C,∴C=C,C=C,…,由①+②得:2S=n(C+C+C+…+C),∴S=·n·2n=n·2n-1,即C+2C+3C+…+nC=n·2n-1.(证法2)左边各组合数的通项为rC=r·==nC,∴C+2C+3C+…+nC=n(C+C+C+…+C)=n·2n-1.11.已知Sn=2n+C2n-1+C2n-2+…+C·2+1(n∈N+),求证:当n为偶数时,Sn-4n-1能被64整除.解:由二项式定理的逆用化简Sn,再把Sn-4n-1变形,化为含有因数64的多项式.∵Sn=2n+C2n-1+C2n-2+…+C·2+1=(2+1)n=3n,∴Sn-4n-1=3n-4n-1.∵n为偶数,∴设n=2k(k∈N*),∴当k=1时,Sn-4n-1=0显然能被64整除,当k≥2时,Sn-4n-1=32k-8k-1=(8+1)k-8k-1=C8k+C8k-1+…+C8+1-8k-1=C·8k+C·8k-1+…+C·82(*),(*)式能被64整除,所以,当n为偶数时,Sn-4n-1能被64整除.