第十一章计数原理、随机变量及分布列第3课时二项式定理(理科专用)1.的二项展开式中，常数项是第________项．答案：10解析：Tr＋1＝C15－r·r＝C·x(r＝0，1，2，…，14)，当r＝9时，Tr＋1为常数项．2.若9的展开式中x3的系数为，则常数a＝________．答案：4解析：Tr＋1＝C9－rr＝(－1)rra9－rCx－9，令－9＝3，r＝8，则(－1)88aC＝a＝，a＝4.3.已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，那么a1＋a2＋…＋a7＝________．答案：－2解析：令x＝0，得a0＝1，再令x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋…＋a7，∴a1＋a2＋…＋a7＝－2.4.(a＋x)5展开式中x2的系数为10,则实数a＝________．答案：1解析：根据公式Tr＋1＝Can－rbr得含有x2的项为T3＝Ca3x2＝10x2，所以a＝1.5.(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5的展开式中的x3的系数是________．答案：15解析：原式＝＝，(x－1)6中含有x4的项是Cx4(－1)2＝15x4，所以展开式中的x3的系数是15.6.若(2－x)6展开式中第二项小于第一项，但不小于第三项，则x的取值范围为________．答案：－＜x≤0解析：由题意得26＞C·25·(－x)≥C·24·(－x)2，即解得即－＜x≤0.7.在(1－x3)(1＋x)10的展开中，x5的系数是________．答案：207解析：(1－x3)(1＋x)10＝(1＋x)10－x3(1＋x)10＝(C－C)x5＋…＝207x5＋….8.若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝________．答案：1解析：(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝(2＋)4·(2－)4＝1.9.若二项式的展开式中的常数项为第五项．求：(1)n的值；(2)展开式中系数最大的项．解：(1)∵Tr＋1＝C，x的指数为－＋，∵的展开式中的常数项为第五项，∴r＝4，解得n＝10.(2)∵Tr＋1＝C，其系数为C·210－r.设第k＋1项的系数最大，则化简得解得≤k≤，∴k＝3.即第四项系数最大，T4＝C·27·x－＝15360x－.10.求证：C＋2C＋3C＋…＋nC＝n·2n－1.证明：(证法1)倒序相加：设S＝C＋2C＋3C＋…＋nC，①∵S＝nC＋(n－1)C＋(n－2)C＋…＋2C＋C，②又C＝C，∴C＝C，C＝C，…，由①＋②得：2S＝n(C＋C＋C＋…＋C)，∴S＝·n·2n＝n·2n－1，即C＋2C＋3C＋…＋nC＝n·2n－1.(证法2)左边各组合数的通项为rC＝r·＝＝nC，∴C＋2C＋3C＋…＋nC＝n(C＋C＋C＋…＋C)＝n·2n－1.11.已知Sn＝2n＋C2n－1＋C2n－2＋…＋C·2＋1(n∈N＋)，求证：当n为偶数时，Sn－4n－1能被64整除．解：由二项式定理的逆用化简Sn，再把Sn－4n－1变形，化为含有因数64的多项式．∵Sn＝2n＋C2n－1＋C2n－2＋…＋C·2＋1＝(2＋1)n＝3n，∴Sn－4n－1＝3n－4n－1.∵n为偶数，∴设n＝2k(k∈N*)，∴当k＝1时，Sn－4n－1＝0显然能被64整除，当k≥2时，Sn－4n－1＝32k－8k－1＝(8＋1)k－8k－1＝C8k＋C8k－1＋…＋C8＋1－8k－1＝C·8k＋C·8k－1＋…＋C·82(*)，(*)式能被64整除，所以，当n为偶数时，Sn－4n－1能被64整除．
