【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.3空间的角的计算学业分层测评苏教版选修2-1(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为________．【解析】 AB＝(2，－2，－1)，CD＝(－2，－3，－3)，∴cos〈AB，CD〉＝＝＝，∴直线AB，CD所成角的余弦值为.【答案】2．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是________.【导学号：09390088】【解析】依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，M，C(0,1,0)，N.∴AM＝，CN＝，∴cos〈AM，CN〉＝＝，故异面直线AM与CN所成角的余弦值为.【答案】3．已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．【解析】如图，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)．所以A(1,0,0)，E，F，所以AE＝，EF＝，则即取x＝1，则y＝－1，z＝3，故n2＝(1，－1,3)，所以cos〈n1，n2〉＝＝，所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cosα＝，sinα＝，所以tanα＝.【答案】4．已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC11所成角的正弦值等于________．【解析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则DC＝(0,1,0)，DB＝(1,1,0)，DC1＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥DB，n⊥DC1，所以有令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，DC〉|＝＝.【答案】5．已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的余弦值是________．【解析】以D为坐标原点，以DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，则A(1,0,0)，E，F，D1(0,0,1)．所以AD1＝(－1,0,1)，AE＝.设平面AEFD1的法向量为n＝(x，y，z)，则⇒取y＝1，则n＝(2,1,2)，而平面ABCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，∴cos〈n，u〉＝.【答案】6．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱长AA1和BB1的中点，则sin〈CM，D1N〉＝________.【解析】建立如图直角坐标系，设正方体的棱长为2.可知CM＝(2，－2,1)，D1N＝(2,2，－1)，cos〈CM，D1N〉＝－，∴sin〈CM，D1N〉＝.【答案】7.如图3228，在四面体ABCD中，AB＝1，AD＝2，BC＝3，CD＝2，∠ABC＝∠DCB＝，则二面角ABCD的大小为________．图3228【解析】二面角ABCD的大小等于AB与CD所成角的大小.AD＝AB＋BC＋CD，而AD2＝2＋2＋2－2|AB|·|CD|·cos〈AB，CD〉，即12＝1＋4＋9－2×2cos〈AB，CD〉，∴cos〈AB，CD〉＝，∴AB与CD所成角为，即二面角ABCD的大小为.【答案】8．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈OA，BC〉的值为________．【解析】 OA·BC＝OA·(OC－OB)＝OA·OC－OA·OB＝|OA|·|OC|cos－|OA|·|OB|·cos＝|OA|(|OC|－|OB|)＝0.∴cos〈OA，BC〉＝＝0.【答案】0二、解答题29．如图3229，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝，连结CE并延长交AD于F.图3229(1)求证：AD⊥平面CFG；(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．【解】(1)证明：在△ABD中，因为E是BD中点，所以EA＝EB＝ED＝AB＝1，故∠BAD＝，∠ABE＝∠AEB＝，因为△DAB≌△DCB，所以△EAB≌△ECB，从而有∠FED＝∠BEC＝∠AEB＝，所以∠FED＝∠FEA，故EF⊥AD，AF＝FD.因为PG＝GD，所以FG∥PA.又PA⊥平面ABCD，所以GF⊥AD，故AD⊥平面CFG.(2)以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C，D(0，，0)，P，故BC＝，CP＝，CD＝.设平面BCP的一个法向量n1＝(1，y1，z1)，则解得即n1＝.设平面DCP的一个法向量n2＝(1，y2，z2)，则解得即n2＝.从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为cosθ＝＝＝.10．如图3230，在几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA⊥AB，M...
