课时分层作业(八)“杨辉三角”与二项式系数的性质(建议用时：40分钟)一、选择题1.的展开式中二项式系数最大的项是()A．第6项B．第8项C．第5,6项D．第6,7项D[由n＝11为奇数，则展开式中第项和第＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．]2．已知的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x4的系数为()A．5B．10C．20D．40B[因为的二项展开式的各项系数和为32，所以令x＝1得2n＝32，所以n＝5.所以的二项展开式的第r＋1项Tr＋1＝C(x2)5－r＝Cx10－3r，令10－3r＝4，得r＝2，故二项展开式中x4的系数为C＝10.]3．已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于()A．64B．32C．63D．31B[由已知(1＋2)n＝3n＝729，解得n＝6，则C＋C＋C＝C＋C＋C＝×26＝32.]4．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A．212B．211C．210D．29D[因为(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10，所以二项式(1＋x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为×210＝29.]5．已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则的值为()A.B.C.D.A[a＝C＝70，设b＝C2r，则得5≤r≤6，所以b＝C26＝C26＝7×28，所以＝.]二、填空题6．如图所示是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．2n－1[由1,3,5,7,9，…，可知它们成等差数列，所以an＝2n－1.]7．(a＋)n的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第8项T8＝________.120a[C＋C＋C＋…＝2n－1＝512＝29，所以n＝10，所以T8＝Ca3()7＝120a.]8．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是________．1－121[展开式中含x3的项的系数为C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＝－121.]三、解答题9．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6.[解](1)令x＝0，则a0＝－1，令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128.①∴a1＋a2＋…＋a7＝129.(2)令x＝－1，则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②由，得a1＋a3＋a5＋a7＝[128－(－4)7]＝8256.(3)由，得a0＋a2＋a4＋a6＝[128＋(－4)7]＝－8128.10．对二项式(1－x)10，(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项；(2)求展开式中各二项式系数之和；(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和．[解](1)展开式共11项，中间项为第6项，T6＝C(－x)5＝－252x5；(2)C＋C＋C＋…＋C＝210＝1024.(3)设(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，令x＝0，得a0＝1，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.1．(1－x)13的展开式中系数最小的项为()A．第9项B．第8项C．第7项D．第6项B[展开式中共有14项，中间两项(第7、8项)的二项式系数最大．由于二项展开式中二项式的系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．故系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项．]2．已知(x－1)n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则它的展开式的中间项为()A．－35x4B．35x3C．－35x4和35x3D．－35x3和35x4C[由已知，可得2n－1＝64，解得n＝7，(x－1)7的展开式中共有8项．中间项为第4项与第5项，T4＝Cx4(－1)3＝－35x4，T5＝Cx3(－1)4＝35x3，故选C.]3．若C＝C(n∈N*)，且(2－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝________.81[由C＝C可知n＝4，令x＝－1，可得a0－a1＋a2－…＋(－1)nan＝34＝81.]24．如图，在由二项式系数构成的“杨辉三角”中，第________行中从左至右数第14个数与第15个数的比为2∶3.34[由已知，得＝，化简得＝，解得n＝34.]5．已知展开式的二项式系数之和为256.(1)求n；(2)若展开式中常数项为，求m的值；(3)若(x＋m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况．[解](1)二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8.(2)设常数项为第r＋1项，则Tr＋1＝Cx8－r＝Cmrx8－2r，令8－2r＝0，即r＝4，则Cm4＝，解得m＝±.(3)易知m>0，设第r＋1项系数最大．则化简可得≤r≤.由于只有第6项和第7项系数最大，所以即所以m只能等于2.3
