3个附加题综合仿真练(六)1．本题包括A、B、C、D四个小题，请任选二个作答A．[选修4－1：几何证明选讲]如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：(1)∠PAC＝∠CAB；(2)AC2＝AP·AB.证明：(1)因为PC切半圆O于点C，所以∠PCA＝∠CBA.因为AB为半圆O的直径，所以∠ACB＝90°.因为AP⊥PC，所以∠APC＝90°.因此∠PAC＝∠CAB.(2)由(1)知，△APC∽△ACB，故＝，即AC2＝AP·AB.B．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A＝，B＝.(1)求AB；(2)若曲线C1：＋＝1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．解：(1)因为A＝，B＝，所以AB＝＝.(2)设Q(x0，y0)为曲线C1上的任意一点，它在矩阵AB对应的变换作用下变为P(x，y)，则＝，即所以因为点Q(x0，y0)在曲线C1上，则＋＝1，从而＋＝1，即x2＋y2＝8.因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2：x2＋y2＝8.C．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(α为参数)．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝β，若圆C与直线l相切，求直线l的极坐标方程．解：圆的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝1，设直线l对应的直角坐标方程为y＝kx，因为圆C与直线l相切，所以d＝＝1，得到k＝±，故直线l的极坐标方程θ＝或θ＝.D．[选修4－5：不等式选讲]已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8.证明：由柯西不等式可得：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，所以(ac＋bd)2≤64，因此ac＋bd≤8.2.已知正六棱锥SABCDEF的底面边长为2，高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X表示所得三角形的面积．(1)求概率P(X＝)的值；(2)求X的概率分布，并求其数学期望E(X)．解：(1)从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有C＝35种取法．其中X＝的三角形如△ABF，这类三角形共有6个．因此P(X＝)＝.(2)由题意，X的可能取值为，2，，2，3.其中X＝的三角形如△ABF，这类三角形共有6个；其中X＝2的三角形有两类，如△SAD(3个)，△SAB(6个)，共有9个；其中X＝的三角形如△SBD，这类三角形共有6个；其中X＝2的三角形如△CDF，这类三角形共有12个；其中X＝3的三角形如△BDF，这类三角形共有2个．因此P(X＝)＝，P(X＝2)＝，P(X＝)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝.所以随机变量X的概率分布为：X223P所求数学期望E(X)＝×＋2×＋×＋2×＋3×＝.3．已知数列{an}满足：a1＝1，对任意的n∈N*，都有an＋1＝an＋.(1)求证：当n≥2时，an≥2；(2)利用“∀x＞0，ln(1＋x)＜x”，证明：an＜2e(其中e是自然对数的底数)．证明：(1)①由题意，a2＝×1＋＝2，故当n＝2时，a2＝2，不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，即ak≥2，则当n＝k＋1时，ak＋1＝ak＋＞2.所以，当n＝k＋1时，不等式也成立．根据①②可知，对所有n≥2，an≥2成立.(2)当n≥2时，由递推公式及(1)的结论有an＋1＝an＋≤an(n≥2)．两边取对数，并利用已知不等式ln(1＋x)＜x，得lnan＋1≤ln＋lnan＜lnan＋＋，故lnan＋1－lnan＜＋(n≥2)，求和可得lnan－lna2＜＋＋…＋＋＋＋…＋＝＋＋…＋＋·＝－＋－<.由(1)知，a2＝2，故有ln＜，即an＜2e(n≥2)，而a1＝1＜2e，所以对任意正整数n，有an＜2e.
