一题多解和一题多变（四）题型一：一题多解题目：椭圆的焦点是，椭圆上一点P满足，下面结论正确的是———————————————————————（）（A）P点有两个（B）P点有四个（C）P点不一定存在（D）P点一定不存在解法一：以为直径构圆，知：圆的半径，即圆与椭圆不可能有交点
故选D解法二：由题知，而在椭圆中：，不可能成立故选D解法三：由题意知当p点在短轴端点处最大，设，此时为锐角，与题设矛盾
故选D解法四：设，由知，而无解，故选D解法五：设，假设，则，而即：，不可能
故选D1解法六：，故不可能
故选D解法七：设由焦半径知：而在椭圆中而>,故不符合题意，故选D解法八
设圆方程为：椭圆方程为：两者联立解方程组得：不可能故圆与椭圆无交点即不可能垂直故选D2题型二：一题多变设椭圆过点，且左焦点为
（1）求椭圆的方程；（2）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点时，在线段上取点，满足
证明：点总在定直线上
解答：第（1）题易得椭圆方程为（过程略）；主要第（2）题证明如下：如图，设，由三角形的相似得：化简得：现设直线（k必存在）代入椭圆方程，得：由韦达定理，得：代入式，化简得：，代入直线方程，得：两式联立，消去，得：，ABPQ3即点在定直线上，得证
变1：设椭圆，当过点（其中）的动直线与椭圆相交于两不同点时，在线段上取点，满足证明：点在定直线上
变2：设双曲线，过点（其中）的动直线与双曲线相交于两不同点，在线段上取点，满足证明：点在定直线上
证明：这两个命题可以一起证
统一设椭圆和双曲线的方程为（，且不同时小于）（注：实际上还可包括圆）；设直线（注：当k不存在的情况需另行证明，这里略），两式联立，消去，得：设，得现设，由条件知，点在线段外，不失一般性，在图象中，从左到右这四个字母的顺序是，故由三角形的相似得：，即现韦达定理代入式，化简得：4，化简得：点在直线上，得证
变3：设抛物线，当过点
