1.1导数与函数的单调性及应用第四章函数的单调性与极值1.直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．学习目标导数函数的单调性f′(x)>0单调递f′(x)<0单调递f′(x)＝0常函数知识梳理自主学习知识点一函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：答案增减函数的单调性导数单调递f′(x)≥0单调递f′(x)≤0常函数f′(x)＝0(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：答案增减思考在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件？答案函数递增是f′(x)>0的必要不充分条件．知识点二利用导数求函数的单调区间求可导函数单调区间的基本步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．返回题型探究重点突破题型一利用导数判断函数的单调性解析答案反思与感悟例1求证,函数f(x)＝sinxx在区间π2，π上单调递减．证明f′(x)＝xcosx－sinxx2，又x∈π2，π，则cosx<0，∴xcosx－sinx<0，∴f′(x)<0，∴f(x)在π2，π上是减函数．解析答案跟踪训练1函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为()D解析f(2)＝8－e2>8－2.82＝0.168<1，f(2)>0排除A,B；在x≥0时，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，当x=0时，f′(x)<0，x=1时f′(x)>0f(x)在(0,+)上有增有减，排除C，故选D.题型二利用导数求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；(2)f(x)＝sinx－x(00，解得x<－3或x>2；由f′(x)＜0解得－30，即2·3x2－1x>0，解得－3333.又∵x>0，∴x>33.令f′(x)<0，即2·3x2－1x<0，解得x<－33或00，∴01，证明等不式:x>ln(1+x)题型三已知函数单调性求参数的取值范围例3已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．解析答案反思与感悟当m＝13时，使f′(x)＝0的点只有一个x＝－13，也符合题意．故实数m的取值范围是13，＋∞.解析答案跟踪训练3若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数．求实数m的取值范围．解f′(x)＝3x2＋2x＋m.因为f(x)是R上的单调函数，所以f′(x)≥0恒成立或f′(x)≤0恒成立．因为二次项系数3＞0，所以只能有f′(x)≥0恒成立．因此Δ＝4－12m≤0，故m≥13.小结函数单调性应用的类型•一、利用函数的单调性确定参数的取值范围;•二、利用可导函数的单调性求最值;•三、利用可导函数单调性证明不等式.C.在0，1e上是减函数，在1e，6上是增函数D.在0，1e上是增函数，在1e，6上是减函数当堂检测12351.函数f(x)＝x＋lnx在(0,6)上是()A.单调增函数B.单调减函数解析答案解析∵f′(x)＝1＋>0，∴函数在(0,6)上单调递增.A解析由导函数的图像可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当02时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数.观察选项易知D正确.12352.f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是()D解析答案12353.若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是()A.[1，＋∞)B.a＝1C.(－∞，1]D.(0,1)A解析∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.解析答案
