三角形中的角平分线VIP免费

1.4角平分线(2)1、自主学习，学案引领：定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等.老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.如图,∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知)∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).CB1A2PDEO逆定理在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.如图,∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知),∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.CB1A2PDEO2、小组合作，互助共赢定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.如图,在△ABC中,∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC老师提示:这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一这个交点叫做三角形的内心.ABCPMNDEF∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).H例3如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．(1)已知CD=4cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD．DABEC(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB∴DE=CD=4cm∵AC=BC∴∠B=∠BAC(等边对等角)∵∠C=90°，∴∠B=×90°=45°．∴∠BDE=90°-45°=45°．∴BE=DE(等角对等边)．在等腰直角三角形BDE中(勾股定理)，∴AC=BC=CD+BD=(4+)cm．122BD2DE42cm42例3如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．(1)已知CD=4cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD．DABEC(2)证明：由(1)的求解过程可知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL)∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD．3、展示反馈，张扬个性：（1）、作三角形的三个内角的角平分线，你发现三条角平分线位置有什么关系？你能证明证明这个结论吗？已知：求证：证明：ABC4、拓展提升，激励培优：三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等1、如图：CO,BO分别平分∠ACN和∠ABC,求证：点O在∠MAC的角平分线上。ABCOMN老师期望:你能写出规范的证明过程.2.已知：如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB垂足分别为C、D，求证：（1）OC=OD；（2）OP是CD的垂直平分线COABPD3.已知:如图,P是∠AOB平分线上的一个点，并且PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D.求证:(1)OC=OD;(2)OP是CD的垂直平分线.BAPDCO回顾与小结定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等(这个交点叫做三角形的内心).如图,在△ABC中,∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC老师提示:这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一这个交点叫做三角形的内心.ABCPMNDEF∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).H