第2课时函数的最大值、最小值1．通过对一些熟悉函数图象的观察、分析，理解函数最大值、最小值的定义．2．会利用函数的单调性求函数的最值．1．最大值的概念：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有________；(2)存在x0∈I，使得_________.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．2．最小值的概念：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有________；(2)存在x0∈I，使得________.那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．自学导引f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M1．函数最大值或最小值的几何意义是什么？答：函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标．自主探究2．试探究函数f(x)＝x＋ax(a>0)，x∈(0，＋∞)的单调性．答：任取00，即f(x1)>f(x2)．所以函数f(x)在(0，a)上单调递减．同理可知，函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增．注意：(1)在给定的区间内，当某个代数式的符号无法确定时(如本题中x1x2－a)，可取极端情况(如x1＝x2)入手分析，以此为界分类讨论．(2)函数y＝x＋ax(a>0)是一个常用且重要的函数，其图象如图所示，记住这个函数的图象和性质会给解题带来方便．1．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．f(－2)，0B．0,2C．f(－2)，2D．f(2)，2预习测评解析：由函数最值的几何意义知，当x＝－2时，有最小值f(－2)；当x＝1时，有最大值2.答案：C2．函数y＝ax＋1(a<0)在区间[0,2]上的最大值与最小值分别为()A．1,2a＋1B．2a＋1,1C．1＋a,1D．1,1＋a解析：a<0，所以一次函数在区间[0,2]上是减函数，当x＝0时，函数取得最大值为1；当x＝2时，函数取得最小值为2a＋1.答案：A3．函数y＝2x2＋1，x∈N*的最小值为________．解析： x∈N*，∴y＝2x2＋1≥3.答案：3答案：204．若函数y＝kx(k>0)在[2,4]上的最小值为5，则k的值为________．解析：因为k>0，所以函数y＝kx在[2,4]上是减函数，所以当x＝4时，y＝k4最小，由题意知k4＝5，k＝20.一、函数的最大(小)值的理解1．定义中M首先是一个函数值，它是值域的一个元素．如f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0，注意对(2)中“存在”一词的理解．2．对于定义域内全部元素，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)成立．“任意”是说对每一个值都必须满足不等式．要点阐释3．这两个条件缺一不可，若只有(1)，M不是最大(小)值，如f(x)＝－x2(x∈R)，对任意x∈R，都有f(x)≤1成立，但1不是最大值，否则大于0的任意实数都是最大值了．最大(小)值的核心就是不等式f(x)≤M(或f(x)≥M)，故也不能只有(2)．二、求函数最值的方法1．求函数最大(小)值的常用方法有：(1)值域：求出函数f(x)的值域，即可求其最值(注意必须确保存在函数值里的最值)；(2)单调性法．通过研究函数的单调性来求函数的最值；2．当一般的求最值方法难以奏效时，不妨研究函数的单调性试一试，单调性法是求有些非常规函数最值的有效方法．(1)一般地，若y＝f(x)与y＝g(x)有相同的定义域，且在定义域内有相同的单调性，则函数y＝f(x)＋g(x)与它们也有相同的单调性．(3)特殊函数法．利用特殊函数[如一次函数、二次函数、反比例函数、函数y＝x＋ax(a>0)等]的单调性来求其最值．(2)函数y＝f(x)的最大值和最小值也可用下列符号表示：用y大或ymax表示y＝f(x)的最大值；用y小或ymin表示y＝f(x)的最小值，而用f(x)|x＝x0表示当x＝x0时y＝f(x)的函数值．题型一利用图象求函数最值【例1】如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．典...
