3.4.1函数与方程VIP专享VIP免费

第3章指数函数、对数函数和幂函数3.4函数的应用3.4.1函数与方程第1课时函数的零点明目标、知重点1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系.2.掌握函数零点存在性判定定理.3.能结合图象求解零点问题．填要点·记疑点1.函数的零点一般地，我们把使的实数x称为函数y＝f(x)的零点.2.方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0⇔函数y＝f(x)的图象⇔函数y＝f(x).函数y＝f(x)的值为0有实数根与x轴有交点有零点3.函数零点的存在性定理一般地，若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点.f(a)·f(b)<0探要点·究所然情境导学下图是某地气象局测得当地一天的一个气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象)，由于图象中有一段被墨水污染了，有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度，你能帮助他做出正确判断吗？探究点一函数零点的定义思考1考察下列一元二次方程与对应的二次函数：(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1;(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.请列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标.答方程x2－2x－3＝0x2－2x＋1＝0x2－2x＋3＝0函数y＝x2－2x－3y＝x2－2x＋1y＝x2－2x＋3函数的图象方程的实数根x1＝－1，x2＝3x1＝x2＝1无实数根函数的图象与x轴的交点(－1,0)、(3,0)(1,0)无交点思考2从你所列的表中你能得出什么结论？答方程根的个数与对应函数与x轴交点的个数相同，方程的根是函数与x轴交点的横坐标.思考3我们把使函数f(x)＝x2－2x－3的值等于零的实数－1,3叫做函数f(x)＝x2－2x－3的零点.那么你能给函数y＝f(x)的零点下个定义吗？答一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点.思考4函数y＝f(x)有零点可等价于哪些说法？答函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔方程f(x)＝0有实数根.思考5请说出函数①y＝lgx；②y＝lg(x＋1)；③y＝2x；④y＝2x－2的零点.答①y＝lgx的零点是1；②y＝lg(x＋1)的零点是0；③y＝2x没有零点；④y＝2x－2的零点是1.例1求证：二次函数y＝2x2＋3x－7有两个不同的零点.证明考察二次方程2x2＋3x－7＝0.因为Δ＝32－4×2×(－7)＝65>0，所以方程2x2＋3x－7＝0有两个不相等的实数根.因此，二次函数y＝2x2＋3x－7有两个不同的零点.反思与感悟函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点.在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.解析 a≠0,2a＋b＝0，∴b≠0，ab＝－12.跟踪训练1若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________.令bx2－ax＝0，得x＝0或x＝ab＝－12.0，－12解方法一根据求根公式可得方程x2－2x－1＝0的两个根分别为x1＝1＋2，x2＝1－2.探究点二函数零点存在性定理例2判断函数f(x)＝x2－2x－1在区间[2,3]上是否存在零点.因为1<2<2，所以2<1＋2<3，因此，函数f(x)＝x2－2x－1在区间(2,3)上存在零点.方法二如图所示，因为f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，而二次函数f(x)＝x2－2x－1在区间(2,3)上的图象是不间断的，这表明此函数图象在区间(2,3)上一定穿过x轴，即函数在区间(2,3)上存在零点.思考1你能归纳出判断函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点的一般方法吗？答函数零点存在性定理：若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点.思考2如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是不间断的一条曲线，函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点，f(a)·f(b)<0是否一定成立？答不一定成立，由下图可知.思考3如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，满足了上述两个条件后，函数的零点是唯一的吗？还要添加什么条件可以保证函数有唯一零点？答函数零点不一定唯一，由下图可知，还需添加函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调.小结函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但不一定有f(a)·f(b)<0.即零点存在性定理不可逆.跟踪训练2求证：函数f(x)＝...