第十七章复数1．复数的概念(1)理解复数的基本概念．(2)理解复数相等的充要条件．(3)了解复数的代数表示法及其几何意义．2．复数的四则运算(1)会进行复数代数形式的四则运算．(2)了解复数代数加、减运算的几何意义.研究复数问题的基本数学思想方法和原则：1．具体化原则：将一般复数z用x＋yi(x、y∈R)这个具体的复数来表示．2．实数化原则：将虚数问题转化为实数问题来处理．3．几何化原则：将复数问题利用复数模的几何意义及复数代数加减运算的几何意义，转化为几何问题来处理.第1讲复数的概念1．复数相等的充要条件复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)与复数z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)相等的充要条件是____________________.2．对于复数z＝x＋yi(x、y∈R)当___________时，是虚数；x1＝x2且y1＝y2y≠0x＝0，y≠0当_______________时，是纯虚数；当_______时，是实数．y＝03．共轭复数复数z＝x＋yi(x、y∈R)的共轭复数是z＝_______，它们的模|z|=|z|=___________________.x－yiCA．1＋2iB．1－2iC．－1D．3x2＋y21．复数1＋2i2＝()的虚部是___.2．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为()BA．1B．2C．1或2D．－13．复数1－2＋i＋11－2i4．已知m∈R，复数z＝mm－2m－1＋(m2＋2m－3)i，若z对应的点位于复平面的第二象限，则m的取值范围是___________________________.m＜－3或1＜m＜25.1＋i1－i表示为a＋bi(a、b∈Z)，则a＋b＝____.115考点1复数的概念例1：已知复数z＝a2－7a＋6a2－1＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解析：(1)当z为实数时，则有a2－5a－6＝0a2－7a＋6a2－1有意义，∴a＝－1或a＝6a≠±1，∴a＝6，即a＝6时，z为实数．(2)当z为虚数时，则有a2－5a－6≠0a2－7a＋6a2－1有意义，∴a≠－1且a≠6a≠±1.∴a≠±1且a≠6.∴当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．∴不存在实数a使z为纯虚数．当虚部为0时，复数为实数；当虚部不为0时，复数为虚数．(3)当z为纯虚数时，有a2－5a－6≠0a2－7a＋6a2－1＝0，∴a≠－1且a≠6a＝6.【互动探究】1．在复平面内，复数i1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于()BA．第一象限C．第三象限考点2复数相等的应用B．第二象限D．第四象限例2：已知x、y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x、y.解析：设x＝a＋bi(a、b∈R)，则y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2，代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，根据复数相等的充要条件，得4a2＝4－3a2＋b2＝－6，解得a＝1b＝1或a＝1b＝－1或a＝－1b＝1或a＝－1b＝－1.故所求复数为x＝1＋iy＝1－i或x＝1－iy＝1＋i或x＝－1＋iy＝－1－i或x＝－1－iy＝－1＋i.【互动探究】A2．(2010年辽宁)设a、b为实数，若复数1＋2ia＋bi＝1＋i，则()A．a＝32，b＝12B．a＝3，b＝1C．a＝12，b＝32D．a＝1，b＝3错源：混淆虚数与纯虚数的概念例3：已知a是实数，a(a＋i)－1＋i是纯虚数(i是虚数单位)，则a＝()A．1B．－1C.2D．－2误解分析：纯虚数的实部为0，但虚部不能为0.正解：a(a＋i)－1＋i＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，a2－1＝0但a＋1≠0，∴a＝1，选A.【互动探究】3．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(A)A．－1C．1B．0D．－1或1例4：下列类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a、b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a、b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；其中类比结论正确的个数是()A.0B．1C．2D．3解析：因为复数是不能比较大小的，故第3个命题是错误的．选C.此题需同学们深刻理解有理数、实数与复数之间的区别与联系．③“若a、b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a、b∈C，则a－b>0⇒a>b”．②“若a、b、c、d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a、b、c、d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；【互动探究】4．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为()CA.13B.14C.16D.112＝.解析：因为(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i为实数，所以n2＝m2，故m＝n，则可以取1,2，…，6，共6种可能，所以p＝66×6161．在复习过程中，应注意理解和掌握复数的基本概念，特别是虚数、纯虚数、共轭复数、两复数相等及复数的模等．2．两个复数不全为实数时不能比较大小，只有相等和不相等的关系．
