1.1.6棱柱、棱锥、棱台、球的表面积一、直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积•分析直六棱柱和正四棱锥的展开图•直棱柱:•正棱锥:侧棱与底面垂直的棱柱。底面是正多边形,顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上。hhc1、S直棱柱侧=ch.•直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积。2、S正棱锥侧=•正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半。'nah21'ch21h’斜高aa正棱台的表面积•正棱台:由正棱锥截得的棱台•分析正四棱台的展开图3、S正棱台侧=')han(a21''')hc(c21h’aa’4、球的表面积S球=4πR2.球面面积等于它的大圆面积的4倍。.R直棱柱、正棱锥、正棱台、球直棱柱、正棱锥、正棱台、球S直棱柱侧=ch.S正棱锥侧='nah21'ch21S全=S侧+S底S正棱锥台=S球=4πR2.')han(a21''')hc(c21二、圆柱、圆锥、圆台是旋转体,它们的展开图是什么样的呢?思考1、圆柱是以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体.圆柱的侧面展开图是矩形.RhS2圆柱侧2、圆锥是以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体.圆锥的侧面展开图是扇形.πRl圆锥侧S3、圆台是以直角梯形的垂直边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体.圆台的侧面展开图是扇环.lrRS)(圆台侧例1、已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm,高与斜高的夹角为30。,求正四棱锥的侧面积及全面积。BAPDCOE例2、一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成,求得半径为R,正四棱台的上、下底面边长分别为3R和2.5R,斜高为0.6R(1)求这个容器盖子的表面积(用R表示,韩解除对面积影响忽略不计);(2)若R=2cm,为盖子涂色时所用的涂料每0.4kg可以涂1cm2,计算为100个这样的盖子涂色越需涂料多少千克(精确到0.1kg)。快乐体验:1、底面是菱形的直四棱柱中,它的体对角线长为9和15,高是5cm,则直四棱柱的侧面积为___________解:如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,对角线A1C=15,B1D=9.所以a2+52=152,b2+52=92,所以a2=200,b2=56.所以直四棱柱的侧面积S=4×8×5=160.因为底面是菱形,4)2()2(22222baBDACAB所以644562008AB即2、正四棱锥的侧面积是底面积的2倍,高是3,则它表面积___【解】如图,设PO=3,PE是斜高,∵S侧=2S底.∴4·12·BC·PE=2BC2.∴BC=PE.在Rt△POE中,PO=3,OE=12BC=12PE.∴9+(PE2)2=PE2,∴PE=23.∴S底=BC2=PE2=(23)2=12.S侧=2S底=2×12=24.∴S表=S底+S侧=12+24=36.3、已知一正三棱台的两底面边长分别为30cm和20cm,且其侧面积等于两底面积的和,则棱台的高为__________【解】如图,正三棱台ABC-A1B1C1中,O、O1为两底面中心,D、D1是BC、B1C1的中点,则DD1为棱台的斜高.已知A1B1=20cm,AB=30cm,则OD=53cm,O1D1=1033cm.由S侧=S上+S下,得S侧=12(60+90)·DD1=34(202+302),解得DD1=1333(cm).在直角梯形O1ODD1中,O1O=DD21-OD-O1D12=13332-53-10332=43(cm),即棱台的高为43cm..cm512cm10cm1242,求两底面的边长,全面积是,两底面的边长相差、正四棱台的高为cm12cm2,别为解:上、下底面边长分5、有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.【解】设正方体的棱长为a.(1)正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个正方形的中心,经过四个切点及球心作截面如图(1),所以有2r1=a,r1=a2,所以S1=4πr21=πa2.(2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,如图(2),2r2=2a,r2=22a,所以S2=4πr22=2πa2.(3)正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面,如图(3),所以有2r3=3a,r3=32a,所以S3=4πr23=3πa2.综上可得S1∶S2∶S3=1∶2∶3.小结:1、直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式2、圆柱、圆锥、圆台、的侧面积公式及球的表面积公式