第四十三讲空间中的垂直关系走进高考第一关考点关回归教材1.直线与平面垂直(1)定义:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直.记作lα,⊥直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面,直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足.(2)判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直.符号表示:若直线a⊂平面α,直线b⊂α,直线la,lb,a∩b=A,⊥⊥则lα.⊥图形表示:(3)重要的真命题①过一点有且只有一条直线与一个平面垂直；②过一点有且只有一个平面与一条直线垂直;③如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.2.平面与平面垂直(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直,记作:αβ.⊥(2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.符号表示:若直线AB⊂平面β,AB⊥平面α,则βα.⊥如图所示:3.直线与平面垂直的性质(1)由线面垂直的定义可知,若直线aα,b⊥⊂α,则ab.⊥(2)性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.符号表示:若ab,aα,∥⊥则bα.⊥4.平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号表示:αβ,α∩β=CD,AB⊥⊂α,ABCD,AB∩CD=B,⊥则ABβ.⊥线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.判定定理判定定理性质定理性质定理线线垂直线面垂直面面垂直5.直线与平面所成的角.(1)斜线在平面内的射影从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的射影.(2)斜线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.说明:(1)一条直线和平面平行或在平面内,我们说它们所成的角是0°的角.(2)一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角.(3)斜线和平面所成的角的范围是(0°,90°).6.二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面,以直线AB为棱,半平面α、β为面的二面角,记作α—AB—β,也可记作∠α—AB—β.以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角,如图,COD∠为二面角的平面角.说明:(1)二面角的平面角∠COD的大小与点O在l上的位置无关.(2)构成二面角的平面角的条件:①二面角的顶点必须在棱上,②角的两边必须分别在两个半平面内,③角的两边必须都与棱垂直,这三个条件缺一不可.(3)一个二面角的平面角的大小是唯一确定的.考点训练1.(2009·山东)已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“αβ⊥”是“mβ⊥”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由平面与平面垂直的判定定理知,如果m为平面α内的一条直线,mβ,⊥则αβ.⊥反过来则不一定.所以“αβ⊥”是“mβ⊥”的必要不充分条件。答案:B2.给出下列四个命题:①若直线l∥平面α,l∥平面β,则αβ;∥②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱;③一个二面角的两个半平面所在平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面所在平面,则这两个二面角的平面角相等或互为补角;④过空间任意一点P一定可以作一个和两条异面直线(点P不在此两条异面直线上)都平行的平面.其中不正确的命题的个数有()A.1B.2C.3D.4答案:D解析:命题①是错误的,由l∥平面α,l∥平面β,则α与β可能相交;命题②是错误的,各侧面都是正方形,底面是菱形且不为正方形的棱柱不是正棱柱;命题③是错误的,例如正方体ABCD—A1B1C1D1中,将二面角A1—AD—B固定,另一个二面角A—BB1—C中(如图所示),将面ABB1A1固定,另一个面BCC1B1是绕BB1运动的,始终有面ABB1A1⊥面ADD1A1,面BCC1B1⊥面ABCD,所以两个二面角的平面角不一定相等或互为补角;命题④是错误的,设两条异面直线为a,b,在直线a上任取一点A,过点A作直线b′,使b′b,∥设b′与a确定平面α,在α内取不在直线a上的一点P,则过点P是不可能作一个与两异面直线都平行的平面,故选D.3.如图所示,棱长为1的正...
