1.5.1二项式定理VIP专享VIP免费

问题情境(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3那么将(a＋b)4，(a＋b)5…展开后，它们的各项是什么呢？（a＋b）2＝(a＋b)(a＋b)展开后其项的形式为：a2，ab，b2考虑b，恰有1个取b的情况有种，则ab前的系数为恰有2个取b的情况有种，则b2前的系数为每个都不取b的情况有1种，即，则a2前的系数为．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝a2＋ab＋b2(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝a3＋a2b＋ab2＋b3对（a＋b）2展开式的分析．C02C02C12C12C22C22C02C12C22C03C13C23C33(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)＝？问题：（1）(a＋b)4展开后各项形式分别是什么？（2）各项前的系数代表着什么？（3）你能分析说明各项前的系数吗？a4a3ba2b2ab3b4各项前的系数就是在4个括号中选几个取b的方法种数．每个都不取b的情况有1种，即,则a4前的系数为．恰有1个取b的情况有种，则a3b前的系数为．恰有2个取b的情况有种，则a2b2前的系数为．恰有3个取b的情况有种，则ab3前的系数为．恰有4个取b的情况有种，则b4前的系数为．则(a＋b)4＝a4＋a3b＋a2b2＋ab3＋b4（3）你能分析说明各项前的系数吗？a4a3ba2b2ab3b4C04C04C14C14C24C24C34C34C44C44C04C14C24C34C44二项展开式定理右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式．注（1）二项展开式共有n＋1项．（2）各项中a的指数从n起依次减小1，到0为此．各项中b的指数从0起依次增加1，到n为此．an-rbr：二项展开式的通项，记作Tr+1．：二项式系数一般地，对于nN*有如(1＋x)n＝1＋x＋x2＋…＋xr＋…＋xn．011222()CCCCCnnnnnnnrnrrnnnnabaabababb＋＋＋＋＋＋＋CrnCrnC1nC2nCrn应用4111)x例展开（＋解412233444444111111)1()()()()CCCCxxxxx（＋＝＋＋＋＋23446411.xxxx＝＋＋＋＋解6631(2)21)xxxx1－＝(－615243366632)C(2)C(2)C(2)xxxxx1＝[(－＋－4256666C(2)C(2)C]xx＋－＋32236012164192240160xxxxxx＝－＋－＋－＋第3项的二项式系数为26C15＝第6项的系数为556C2(1)12－＝－例2展开，并求第3项的二项式系数和第6项的系数．61(2)xx注意：（1）注意对二项式定理的灵活应用．（3）求二项式系数或项的系数的一种方法是将二项式展开．（2）注意区别二项式系数与项的系数的概念二项式系数为；项的系数为：二项式系数与数字系数的积．Crn例3求(x＋a)12的展开式中的倒数第4项．解(x＋a)12的展开式有13项，倒数第4项是它的第10项．.91299399112220TCxaxa＝＝解（1）（2）37333317C1(2)280＝＝Txx第四项系数为280.9921991C()(1)C.＝－＝－rrrrrrrTxxx48444181C()70.Txx－＋＝－＝例4（1）求(１＋2x)7的展开式中的第4项的系数．（2）求的展开式中x3的系数和中间项91)xx（－由9－2r＝3，得r＝3．故x3的系数为(－1)3＝－84．39C中间一项是第5项，练习1．求的展开式常数项．93()3xx＋1999219931C()()C()333rrrrrrrrrxTxx－－－－＋＝＝6966791C()322683T－＝＝．解12由9－r－r＝0得r＝6．练习2．求的展开式的中间两项．93()3xx＋解展开式共有10项，中间两项是第5、6项．4944354193C()()423xTTxx－＋＝＝＝，35955265193C()()423xTTxx－＋＝＝＝．小结（2）区别二项式系数、项的系数．（3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项．（1）注意二项式定理中二项展开式的特征．