1/43第三章导数与微分本章教学要求1.理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题.2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式.3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法.4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法.5.了解可导、可微、连续之间的关系.重点:导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法.难点:求复合函数和隐函数的导数的方法.第一节导数的概念一、引例为了说明微分学的基本概念——导数，我们先讨论两个问题：速度问题和切线问题。1、直线运动的速度设某点沿直线运动，运动完全由位置函数函数)(tfs所确定。非匀速运动的动点从位置)(00tfs移动到)(tfs,求在时刻t0的速度应如何理解,又如何求得呢？最简单的匀速运动情形，00ttssV（1）如果运动不是匀速的，那末在运动的不同时间间隔内，比值(1)会有不同的值。这样，把比值(1)笼统地称为该点的速度就不合适了，而需要按不同时刻来考虑。首先去从时刻t0到t这样一个时间间隔，在这段时间内，动点从位置)(00tfs移动到)(tfs。这时由(1)式算得比值00)()(tttftfV（2）可认为是动点在上述时间间隔内的平均速度。如果时间间隔选得较短，这个比值(2)在2/43实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度。但对于动点在时刻t0的速度的精确概念来说，这样做是不够的。，而更确切地应当这样：令0tt，取(2)式的极限，如果这个极限存在，设为v，即00)()(lim0tttftfVtt（3）这时就把这个极限值V称为动点在时刻t0的瞬时速度。2、切线问题(1)切线的定义：设由曲线C及C上的一点M，在点M外另取C上一点N，做割线MN。当点N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线。这里极限位置的含义是：只要弦长MN趋于零，NMT也趋于零。现在就曲线C为函数)(xfy的图形的情形来讨论切线问题。设),(00yxM是曲线C上的一点，则)(00xfy。根据上述定义要定出曲线C在点M处的切线，只要定出切线的斜率就行了。为此，在点M外另取上的一点),(yxN，于是割线MN的斜率为0000)()(tanxxxfxfxxyy（4）其中为割线MN的倾角。当点N沿曲线C趋于点M时，0xx。如果当0xx时，上式的极限存在，设为k，即00)()(lim0xxxfxfkxx（5）存在，则此极限k是割线斜率的极限，也就是切线的斜率。这里tank，其中是切线MT的倾角。于是，通过点))(,(00xfxM且以k为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线。事实上，由NMT以及0xx时，3/43可见0xx时，(这时0MN)，0NMT。因此直线MT确为曲线C在点M处的切线。二、导数的定义在自然科学和工程技术领域内，还有许多概念，例如电流强度、角速度、线密度等等，都可归结为形如(3)、（5）式的数学形式。我们撇开这些量的具体意义，抓住他们在数量关系上的共性，就得出函数的导数概念。1、导数的定义定义1(导数)设函数)(xfy在点0x的某个领域内有定义，当自变量x在0x处取得增量x时(点xx0仍在该领域内)，相应地函数y取得增量)()(00xfxxfy，如果y与x之比当0x时的极限存在，则称函数)(xfy在点0x处可导，并称这个极限为函数)(xfy在点0x处的导数，记为0xxy，即xxfxxfxyyxxxxxx)()(limlim00000（6）也可记作0)(0xxdxdyxf或0)(xxdxxdf注解::①函数fx()在点x0处可导时，也称fx()在点x0具有导数或导数存在。如果极限(6)不存在，称函数fx()在点x0处不可导。②导数的定义式也可取不同的形式，常见的有hxfhxfxfh)()(lim)(0000（7）和000)()(lim)(0xxxfxfxfxx（8）式(7)中h的即自变量的增量x③、若x0时，yx，则函数yfx()在x0处是不可导的。但为了描述函数的这一特殊性态，我们宁愿称函数在x0处的导数为无穷大。并赋予它记号：fx()0。4/43定义2（导函数）上面讲的是函数在一点处可导，如果函数)(xfy在开区间I内的每一点都可导，就称函数)(xfy在开区间I内可导。这时，对于任一Ix，都对应着)(xf的一个确定的导数值。这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来函数)(xfy的导函数，xxfxxfxfx)()(lim)('0（9）记作dxdyxfy,)(,或dxxdf)(。例1求xxy在0x处的导数.解:由导数的定义知0lim0lim)0()0(lim)0(000xxxxxfxffxxx注解:...
