三角形中常见的四心问题VIP免费

三角形中常见的“四心”问题在初中，有关重心、垂心、内心、外心等三角形问题很常见。为此，我们简称为“四心”问题。重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点，内心是三角形内切圆的圆心，外心是三角形外接圆的圆心。（一）解析几何解释：解析几何又叫坐标几何，是用代数方法来研究几何图形和变换的一门科学。它的特点是用坐标表示点，用方程表示曲线。例题：已知三角形的三个顶点是A（4，1），B（7，5），C（-4，7），求三角形重心G的坐标。解：由定比分点公式得出重心坐标公式G)3,3(CBACBAyyyxxx则G)313,37(②求三角形垂心H的坐标解：∵042211)4(2111:yxxylAH即∴01643)4(437:yxxylCH即则)1,4(1401643042211Hyxyxyx即得③求三角形内心I的坐标解：由∠B与∠C的平分线的交点即内心I或利用内心到三边（或所在的直线）相等，得：I),(cbacybyaycbacxbxaxCBACBA（其中a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边）而55||BCa10||ACb5||ABc得I)25723,255()55155585,551552050(I即④求三角形的外心O的坐标解：设外接圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0则07465057740417FEDFEDFED7123FED∴三角形的外接圆为x2+y2-3x-12y+7=0即)6,23(4125)6()23(22Oyx故（二）向量知识解释：利用向量的加法，减法和向量的数量积运用，解决几何问题显得简捷、明快、思路清晰。结论1：若G为△ABC的重心的充要条件为：0GCGBGA解：设G（x，y），则（4-x，1-y）+(7-x，5-y)+(-4-x，7-y)=(0，0)即)313,37(0133073Gyx故结论2：若H为△ABC的垂心的充要条件为HAHCHCHBHBHA???解：（4-x，1-y）·(7-x，5-y)=(7-x，5-y)·(-4x，7-y)=(-4-x，7-y)·(4-x，1-y)即(4-x)(7-x)+(1-y)(5-y)=(7-x)(-4-x)+(5-y)(7-y)=(4-x)+(-4-x)+(7-y)(1-y)则)1,4(1401643042211Hyxyxyx即得结论3：若I为△ABC的内心的充要条件为22IBacaICIBacIAbcbICIAbcIBIA???（其中a、b、c为△ABC的三边）解：5,10,55),,(cbayxI已知设则)1,4()1,4(21)7,4()1,4(21)5,7()1,4(yxyxyxyxyxyx???=)5,7()5,7(555)7,4()5,7(55yxyxyxyx??则)25723,255(25723255Iyx即结论4：若O为△ABC的外心的充要条件为222OCOBOA解：设O（x，y）则(4-x，1-y)·(4-x，1-y)=(7-x，5-y)·(7-x，5-y)=(-4-x，7-y)·(-4-x，7-y)即(4-x)2+(1-y)2=(7-x)2+(5-y)2=(-4-x)2+(7-y)2则)6,23(623Oyx即以上是一道典型的三角形中的“四心”问题，其中知识丰富、方法多样、思想深刻。问题从平面解析几何知识和平面向量知识，两个方面加以分析：体现了知识间的联系。