专题19_导数的综合应用-江苏十年高考解读2009-2018高三数学分类汇编解析版VIP专享VIP免费

专题19导数的综合应用【考情概览】年份题号考点难度层次考查内容，方式，模型等201819导数的综合应用困难极值201720导数的综合应用困难证不等式、极值201619导数的综合应用困难恒成立，零点201519导数的综合应用困难单调性、零点201419导数的综合应用困难恒成立，比较大小201320导数的综合应用困难零点、单调性201218导数的综合应用困难零点、极值201119导数的综合应用困难单调性、最值201020导数的综合应用困难单调区间、取值范围2009【命题规律】含有参数的函数导数试题，主要有两个方面：一是根据给出的某些条件求出这些参数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想.含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一.这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等.【真题展示】1.【2010江苏，20】设f(x)是定义在区间(1，＋∞)上的函数，其导函数为f′(x)．如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1，＋∞)都有h(x)＞0，使得f′(x)＝h(x)(x2－ax＋1)，则称函数f(x)具有性质P(a)．(1)设函数f(x)＝lnx＋21bx(x＞1)，其中b为实数．①求证：函数f(x)具有性质P(b)；②求函数f(x)的单调区间．(2)已知函数g(x)具有性质P(2)，给定x1，x2∈(1，＋∞)，x1＜x2，设m为实数，α＝mx1＋(1－m)x2，β＝(1－m)x1＋mx2，且α＞1，β＞1，若|g(α)－g(β)|＜|g(x1)－g(x2)|，求m的取值范围．【答案】(1)①详见解析，②在区间(1，x2)上单调递减，在区间(x2，＋∞)上单调递增．(2)(0,1)．【解析】解：(1)①由f(x)＝lnx＋21bx，得f′(x)＝221(1)xbxxx－.所以当x∈(1，x2)时，f′(x)＜0；当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x＝x2时，f′(x)＝0.从而函数f(x)在区间(1，x2)上单调递减，在区间(x2，＋∞)上单调递增．综上所述，当b≤2时，函数f(x)的单调增区间为(1，＋∞)；当b＞2时，函数f(x)的单调减区间为(1，242bb－)，单调增区间为(242bb－，＋∞)．(2)由题设知，g(x)的导函数g′(x)＝h(x)(x2－2x＋1)，其中函数h(x)＞0对于任意的x∈(1，＋∞)都成立．所以，当x＞1时，g′(x)＝h(x)(x－1)2＞0.从而g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．①当m∈(0,1)时，有α＝mx1＋(1－m)x2＞mx1＋(1－m)x1＝x1，α＜mx2＋(1－m)x2＝x2，得α∈(x1，x2)，同理可得β∈(x1，x2)，所以由g(x)的单调性知g(α)，g(β)∈(g(x1)，g(x2))，从而有|g(α)－g(β)|＜|g(x1)－g(x2)|，符合题设．②当m≤0时，α＝mx1＋(1－m)x2≥mx2＋(1－m)x2＝x2，β＝(1－m)x1＋mx2≤(1－m)x1＋mx1＝x1，于是由α＞1，β＞1及g(x)的单调性知g(β)≤g(x1)＜g(x2)≤g(α)，所以|g(α)－g(β)|≥|g(x1)－g(x2)|，与题设不符．③当m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，进而得|g(α)－g(β)|≥|g(x1)－g(x2)|，与题设不符．因此，综合①②③得所求的m的取值范围为(0,1)．2.【2011江苏，19】已知a，b是实数，函数f(x)＝x3＋ax，g(x)＝x2＋bx，f′(x)和g′(x)分别是f(x)和g(x)的导函数．若f′(x)g′(x)≥0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致．(1)设a＞0，若f(x)和g(x)在区间[－1，＋∞)上单调性一致，求b的取值范围；(2)设a＜0且a≠B．若f(x)和g(x)在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a－b|的最大值．【答案】(1)[2，＋∞)，(2)13.3【2012江苏，18】若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点；(3)设h(x)＝f(f(x))－c，其中c∈[－2,2]，求函数y＝h(x)的零点个数．【答案】(1)a＝0，b＝－3.(2)－2.(3)9．【解析】解：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，g′(x)＞0，故－2是g(x)的极...