专题突破四高考立体几何问题的求解策略资料VIP免费

专题突破四高考立体几何问题的求解策略类型1用向量法求线线角、线面角利用空间向量法求直线与平面所成的角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．图4-1【典例1】(2015·长沙模拟)如图4-1所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．(1)证明：CD⊥平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积．[思路点拨](1)以点A为坐标原点建系，用向量法证明CD⊥AE，CD⊥AP.(2)先确定平面PAE和平面ABCD的法向量，再根据直线PB的方向向量和两个平面的法向量的夹角余弦值的绝对值相等求AP.[规范解答]如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设PA＝h，则相关各点的坐标为：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0,0，h)．(1)证明：易知CD→＝(－4,2,0)，AE→＝(2,4,0)，AP→＝(0,0，h)．因为CD→·AE→＝－8＋8＋0＝0，CD→·AP→＝0，所以CD⊥AE，CD⊥AP.而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.(2)由题设和(1)知，CD→，PA→分别是平面PAE，平面ABCD的法向量．而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以|cos〈CD→，PB→〉|＝|cos〈PA→，PB→〉|，即CD→·PB→|CD→|·|PB→|＝PA→·PB→|PA→|·|PB→|.由(1)知，CD→＝(－4,2,0)，PA→＝(0,0，－h)，又PB→＝(4,0，－h)，故－16＋0＋025·16＋h2＝0＋0＋h2h·16＋h2.解得h＝855.又梯形ABCD的面积为S＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P-ABCD的体积为V＝13×S×PA＝13×16×855＝128515.【反思启迪】1.求直线和平面所成的角也有传统法和向量法两种．传统法关键是找斜线在平面内的射影，从而找出线面角；向量法则可建立坐标系，利用向量的运算求解．用向量法可避开找角的困难，但计算较繁，所以要注意计算上不要失误．2．对于角的计算，一般是把所求角进行转化，体现了化归与转化思想，主要是将空间角转化为平面角或两向量的夹角．【变式训练1】(2015·贵阳模拟)如图4-2，正方形ABCD所在平面与等腰三角形EAD所在平面相交于AD，AE⊥平面CDE.(1)求证：AB⊥平面ADE；(2)在线段BE上存在点M，使得直线AM与平面EAD所成角的正弦值为63，试确定点M的位置．图4-2[解](1)证明 AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD.在正方形ABCD中，CD⊥AD， AD∩AE＝A，∴CD⊥平面ADE. AB∥CD，∴AB⊥平面ADE.(2)由(1)知平面EAD⊥平面ABCD，取AD中点O，连结EO， EA＝ED，∴EO⊥AD，∴EO⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则A(1,0,0)，B(1,2,0)，E(0,0,1)，设M(x，y，z)，∴BM→＝(x－1，y－2，z)，BE→＝(－1，－2,1)， B，M，E三点共线，∴BM→＝λBE→，∴M(1－λ，2－2λ，λ)，∴AM→＝(－λ，2－2λ，λ)．设AM与平面AED所成的角为θ， 平面AED的法向量n＝(0,1,0)，∴sinθ＝|cos〈AM→，n〉|＝|2－2λ|6λ2－8λ＋4＝63，解得λ＝12.即M为BE的中点．类型2用向量法求二面角利用空间向量法求二面角的方法：(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．(2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．以上两种方法各有利弊，要善于结合题目的特点选择适当的方法解题．图4-3【典例2】(2014·浙江高考)如图4-3，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝2.(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B-AD-E的大小．[思路点拨](1)由勾股定理求得AC与BC垂直，由面面垂直的性质得出AC与DE垂直，从而得出线面垂直；(2)用几何法求二面角，先找到二面角的平面角，再用余弦定理求出角的大小，或者用空间向量建立空间直角坐标系，转化为平面的法向量的夹角．[规范解答](1)证明：在直角梯形BCDE...