§1.1.2余弦定理（一）【学习目标】1.掌握余弦定理的两种表示形式；2.证明余弦定理的向量方法；3.运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．【重、难点】重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用.问题1.在中，若已知和，如何求边？答：如图,设，那么，则_______=______________=__________________.即_____________________.同理可求__________________；__________________.𝒄𝟐=𝒂𝟐+𝒃𝟐−𝟐𝒂𝒃𝒄𝒐𝒔𝑪a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝c2＋a2－2cacosB¿¿cosC⃗𝒂𝟐−𝟐⃗𝒂∙⃗𝒃+⃗𝒃𝟐夹角平方平方的和余弦问题2.能否用其他方法证明这一结论？分析：由于涉及边长问题，可以考虑“坐标法（解析法）”和“三角法（主要指相似、全等和勾股定理）”.问题3.从形式上来看，勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，这两个定理之间有关联吗？答：有关联.当三角形的两边夹角为时，余弦定理即为勾股定理，而且【理解定理】（1）推论：____________；___________；_____________.判断三角形中角是锐角，直角还是钝角，只需看分子（2）余弦定理及其推论的基本作用为：①若已知三角形的两条边及其夹角，可求第三条边，该题型简记为“两边一夹角”．②若已知三角形的三条边，可求任意一个角，该题型简记为“三边都已知”．𝒃𝟐+𝒄𝟐−𝒂𝟐𝟐𝒃𝒄𝒂𝟐+𝒄𝟐−𝒃𝟐𝟐𝒂𝒄𝒂𝟐+𝒃𝟐−𝒂𝒄𝟐𝟐𝒂𝒃例1.在中，若，解此三角形．【解析】方法1）∵，∴由余弦定理得∴又∴∴为锐角又由正弦定理得∴∴方法2）∵，∴由余弦定理得∴∴又∴∴例2．在中，已知三边长求三角形的最大内角．【解析】设边长为的三条边所对的角分别为，则.由余弦定理得又∴，即三角形的最大角为变式2.在边长为的三角形中，最大角与最小角之和为_______．【解析】设边长为的三条边所对的角分别为，则，由余弦定理得又∴∴，即最大角与最小角之和为𝟏𝟐𝟎°例3.已知的三条边分别为，则该三角形的形状是____________.【解析】∵中，对大边所对角的余弦值为.∴该角为钝角，即该三角形是钝角三角形.钝角三角形【解题反思】如何用余弦定理判定三角形形状？答：用余弦定理判定三角形形状，只需求出最大边所对角的余弦值即可.变式3.已知钝角中，则最大边的取值范围是____________.【解析】∵是钝角三角形∴由三角形三边关系及余弦定理得，即,解得∴的取值范围是(√𝟓，𝟑)同学们，再见！
