课时作业(五十七)高考解答题专题突破(五)圆锥曲线的热点问题1．(2015·烟台模拟)已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1,0)，C1的中心点和C2的顶点都在坐标原点，过点M(4,0)的直线l与抛物线C2分别相交于A，B两点．(1)如图所示，若AM＝MB，求直线l的方程；(2)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值．解：(1)由题知抛物线方程为y2＝4x.设直线l方程为x＝my＋4，A，B，因为AM＝MB，所以y1＝－y2，联立得y2－4my－16＝0，则有解得y1＝－2，y2＝8，m＝，所以直线l的方程为2x－3y－8＝0.(2)设P(4t2,4t)，则OP的中点(2t2,2t)在直线l上，∴解得m＝±1， t<0，∴m＝1，直线l：x＝y＋4.设椭圆C1方程为＋＝1(a>1)，由椭圆与直线方程联立，得(2a2－1)y2＋8(a2－1)y－a4＋17a2－16＝0 Δ＝[8(a2－1)]2－4(2a2－1)(17a2－16－a4)＝0，∴a≥，∴长轴长最小值为.2．(2015·潍坊模拟)如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，点P为上顶点，圆O：x2＋y2＝b2将椭圆C的长轴三等分，直线l：y＝mx－(m≠0)与椭圆C交于A，B两点PA，PB与圆O交于M，N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求证：△APB为直角三角形；(3)设直线MN的斜率为n，求证：为定值．解：(1)由题知2b＝2，∴b＝1. 圆O将椭圆C的长轴三等分，∴2b＝×2a，∴a＝3b＝3，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：由消去y，得(1＋9m2)x2－mx－＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，又P(0,1)，∴PA·PB＝(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝x1x2＋＝x1x2＋m2x1x2－m(x1＋x2)＋＝(1＋m2)·－m·＋＝＝0.∴PA⊥PB，则△PAB为直角三角形．(3)证明：由(2)知PA⊥PB，由题意知直线PA，PB的斜率存在且不为0，设直线PA的斜率为k(k>0)，则PA：y＝kx＋1，由得或∴A，又直线l过点，则m＝＝.由得或∴M＝.又 PM⊥PN，∴MN为⊙O的直径，∴MN过原点O，∴n＝kOM＝，又 m≠0，∴k2－1≠0，∴n≠0，∴＝＝(定值)．3．(2015·淄博模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点，右焦点为F2，如图所示．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M的横坐标为－，线段AB的中垂线交椭圆C于P，Q两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求F2P·F2Q的取值范围．解：(1)因为焦距为2，所以a2－b2＝1，因为椭圆C过点，所以＋＝1.故a2＝2，b2＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由题意，当直线AB垂直于x轴时，直线AB的方程为x＝－，此时P(－，0)，Q(，0)，得F2P·F2Q＝－1.当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k(k≠0)，M(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得(x1＋x2)＋2(y1＋y2)·＝0，则－1＋4mk＝0，故4mk＝1.此时直线PQ斜率为k1＝－4m，PQ的直线方程为y－m＝－4m.即y＝－4mx－m.联立消去y整理，得(32m2＋1)x2＋16m2x＋2m2－2＝0.设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，所以x3＋x4＝－，x3x4＝.于是F2P·F2Q＝(x3－1)(x4－1)＋y3y4＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋(4mx3＋m)(4mx4＋m)＝(4m2－1)(x3＋x4)＋(16m2＋1)x3x4＋m2＋1＝＋＋1＋m2＝.由于M在椭圆的内部，故0b>0)长轴的左、右端点，点C是椭圆短轴的一个端点，且离心率e＝，三角形ABC的面积为，动直线l：y＝kx＋m(m≠0)与椭圆交于M，N两点．(1)求椭圆方程；(2)若椭圆上存在点P，满足OM＋ON＝λOP(O为坐标原点)，求λ的取值范围；(3)在(2)的条件下，当λ取何值时，△MNO的面积最大，并求出这个最大值．解：(1)由离心率e＝，三角形ABC的面积为，得＝，ab＝，解得a＝，b＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，由题意得x0＝，y0＝，由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.Δ＝(4km)2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝8(1＋2k2－m2)>0得m2<1＋2k2，x1＋x2＝，x1x2＝.则x0＝＝，y0＝＝，代入椭圆C的方程，得＋＝1，所以λ2＝. 1＋2k2>m2，∴λ2<4. m≠0，∴λ≠0，所以λ的取值范围为(－2,0)∪(0,2)．(3)由(2)，得|MN|＝·＝·，O到直线l的距离为d＝.所以S△MNO＝|m|＝＝＝≤×＝，当λ2＝4－λ2，即λ2＝2时等号成立．故...
