一比较法-(4)VIP免费

上一页返回首页下一页不等式证明—比较法湖北省黄石二中李杰一比较法1．理解比较法证明不等式的依据．2．掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．(重点)3．通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．(难点)[基础·初探]作差比较法1．理论依据：①a＞b⇔；②a＝b⇔a－b＝0；③a＜b⇔.2．定义：要证明a＞b，转化为证明，这种方法称为作差比较法．3．步骤：①；②变形；③；④下结论．a－b＞0a－b＜0a－b＞0作差判断符号若x，y∈R，记ω＝x2＋3xy，u＝4xy－y2，则()A．ω＞uB．ω＜uC．ω≥uD.无法确定【解析】 ω－u＝x2－xy＋y2＝x－y22＋3y24≥0，∴ω≥u.【答案】C作商比较法1．理论依据：当b＞0时，①a＞b⇔；②a＜b⇔ab＜1；③a＝b⇔ab＝1.2．定义：证明a＞b(b＞0)，只要转化为证明，这种方法称为作商比较法．3．步骤：①作商；②变形；③判断商与1大小；④下结论．ab＞1ab＞1下列命题：①当b＞0时，a＞b⇔ab＞1；②当b＞0时，a＜b⇔ab＜1；③当a＞0，b＞0时，ab＞1⇔a＞b；④当ab＞0时，ab＞1⇔a＞b.其中真命题是()A．①②③B．①②④C．④D.①②③④【解析】由不等式的性质，①②③正确．当ab＞0时(若b＜0，a＜0)，ab＞1与a＞b不等价，④错．【答案】A[小组合作型]作商比较法证明不等式已知a＞0，b＞0且a≠b，求证：aabb＞(ab)a＋b2.【精彩点拨】判断aabb与aba＋b2的正负→作商变形→与1比较大小→下结论【自主解答】 a＞0，b＞0，∴aabb＞0，(ab)a＋b2＞0，作商aabbaba＋b2＝aa－a＋b2·bb－a＋b2＝aba－b2. a≠b，∴当a＞b＞0时，ab＞1且a－b2＞0，∴aba－b2＞1，而(ab)a＋b2＞0，∴aabb＞(ab)a＋b2.当b＞a＞0时，0＜ab＜1且a－b2＜0，∴aba－b2＞1，而(ab)a＋b2＞0，∴aabb＞(ab)a＋b2.综上可知a＞0，b＞0且a≠b时，有aabb＞(ab)a＋b2.1．当不等式的两端为指数式时，可作商证明不等式．2．运用a＞b⇔ab＞1证明不等式时，一定注意b＞0是前提条件．若符号不能确定，应注意分类讨论．[再练一题]【例2】已知θ∈ቀ0,π4ቁ,求证:cos2θ>cosθ-sinθ..比较法的实际应用甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？【精彩点拨】设从出发地点至指定地点的路程是s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，要回答题目中的问题，只要比较t1，t2的大小就可以了．【自主解答】设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，依题意有：t12m＋t12n＝s，s2m＋s2n＝t2.∴t1＝2sm＋n，t2＝sm＋n2mn，∴t1－t2＝2sm＋n－sm＋n2mn＝s[4mn－m＋n2]2mnm＋n＝－sm－n22mnm＋n.其中s，m，n都是正数，且m≠n，∴t1－t2＜0，即t1＜t2，从而知甲比乙先到达指定地点．1．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键．2．在实际应用不等式问题时，常用比较法来判断数的大小关系．若是选择题或填空题，则可用特殊值加以判断．[再练一题]2．通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，试问：截面为圆的水管流量大还是截面为正方形的水管流量大？【解】设截面的周长为l，依题意知，截面是圆的水管的截面面积为π·l2π2，截面是正方形的水管的截面面积为l42. π·l2π2－l42＝l241π－14＝4－πl216π.由于l＞0,0＜π＜4，∴4－πl216π＞0，∴π·l2π2＞l42.因此，通过水管放水，当流速相同时，如果水管的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大．[探究共研型]作差比较法探究作差法遵循什么步骤？适用于哪些类型？【提示】“作差法”的理论依据是实数的大小顺序与实数的运算性质之间的关系：“a＞b⇔a－b＞0，a＝b⇔a－b＝0，a＜b⇔a－b＜0”，其一般步骤为“作差→变形→判号→定论”．其...