课时作业19空间向量的数乘运算时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是()A．共面向量B．共线向量C．不共面向量D．既不共线也不共面的向量解析：∵2a－b＝2·a＋(－1)·b，∴2a－b与a，b共面．答案：A2．已知空间四边形ABCD，E、F分别是AB与AD边上的点，M、N分别是BC与CD边上的点，若AE＝λAB，AF＝λAD，CM＝μCB，CN＝μCD，则向量EF与MN满足的关系为()A.EF＝MNB.EF∥MNC．|EF|＝|MN|D．|EF|≠|MN|解析：AE－AF＝λAB－λAD＝λDB，即FE＝λDB.同理NM＝μDB.因为μDB∥λDB，所以FE∥NM，即EF∥MN.又λ与μ不一定相等，故|MN|不一定等于|EF|.答案：B3．设M是△ABC的重心，记BC＝a，CA＝b，AB＝c，且a＋b＋c＝0，则AM＝()A.B.C.D.解析：设D是BC边中点，∵M是△ABC的重心，∴AM＝AD.而AD＝(AB＋AC)＝(c－b)，∴AM＝(c－b)．答案：D4．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，设a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则()A．a∥e1B．a∥e2C．a与e1、e2共面D．以上三种情况均有可能解析：a与e1共线，则设a＝ke1，所以a＝λe1＋μe2可变为(k－λ)e1＝μe2，所以e1与e2共线，这与e1与e2不共线相矛盾，故假设不成立，即A不正确，同理B不正确，则D也错误，故选C.答案：C5．对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，且有OP＝xOA＋yOB＋zOC(x、y、z∈R)，则x＋y＋z＝1是四点P、A、B、C共面的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件1解析：若x＋y＋z＝1，则原式可变形为OP＝(1－y－z)OA＋yOB＋zOC，OP－OA＝y(OB－OA)＋z(OC－OA)，∴AP＝yAB＋zAC，∴P、A、B、C四点共面．反之，若P、A、B、C四点共面，由共面向量定理的推论知对空间任一点O，有OP＝OM＋sMA＋tMB(其中s、t是唯一的一对有序实数)．∵MA＝OA－OM，MB＝OB－OM，则OP＝(1－s－t)OM＋sOA＋tOB.令x＝1－s－t，y＝s，z＝t，则有x＋y＋z＝1.答案：C6．下列条件中使M与A、B、C一定共面的是()A.OM＝2OA－OB－OCB.OM＝OA＋OB＋OCC.MA＋MB＋MC＝0D.OM＋OA＋OB＋OC＝0解析：C选项中MA＝－MB－MC，∴点M、A、B、C共面，故选C.答案：C二、填空题(每小题8分，共24分)图17．如图1，在空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA边上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则MN＝________(用a，b，c表示)．解析：MN＝MO＋ON＝AO＋(OB＋OC)＝－OA＋OB＋OC＝－a＋b＋c.答案：－a＋b＋c8．已知两个非零向量e1，e2不共线，如果AB＝e1＋e2，AC＝2e1＋8e2，AD＝3e1－3e2，则点A、B、C、D四点________(共面、不共面)．解析：显然AB、AD不共线，否则，存在λ∈R，使AB＝λAD(λ≠0)，则e1＋e2＝λ(3e1－3e2)＝3λe1－3λe2.∵e1，e2是不共线的非零向量，∴3λ＝1与－3λ＝1矛盾，故AB、AD不共线．设AC＝xAB＋yAD⇔2e1＋8e2＝x(e1＋e2)＋y(3e1－3e2)⇔2e1＋8e2＝(x＋3y)e1＋(x－3y)e2，∴解得∴AC＝5AB＋(－1)·AD，∴A、B、C、D四点共面．答案：共面9．已知O是空间任一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA＝2x·BO＋3y·CO＋4z·DO，则2x＋3y＋4z＝________.解析：OA＝－2x·OB＋(－3y)·OC＋(－4z)·OD，由A、B、C、D四点共面，则有－2x－3y－4z＝1，即2x＋3y＋4z＝－1.2答案：－1三、解答题(共40分)图210．(10分)如图2，在四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，试证：EF＝(AB＋DC)．证明：EF＝EA＋AB＋BF，①EF＝ED＋DC＋CF，②①＋②，得2EF＝(EA＋AB＋BF)＋(ED＋DC＋CF)＝AB＋DC.∴EF＝(AB＋DC)．11．(15分)如图3，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点．求证：B1C∥平面ODC1.图3证明：设C1B1＝a，C1D1＝b，C1C＝c，∵四边形B1BCC1为平行四边形，∴B1C＝c－a.又O是B1D1的中点，∴C1O＝(a＋b)，OD1＝C1D1－C1O＝b－(a＋b)＝(b－a)，∴OD＝OD1＋D1D＝(b－a)＋c.若存在实数x、y，使B1C＝xOD＋yOC1(x、y∈R)成立，则c－a＝x[(b－a)＋c]＋y[－(a＋b)]＝－(x＋y)a＋(x－y)b＋xc.∵a、b、c不共线，∴∴∴B1C＝OD＋OC1，∴B1C、OD、OC1是共面向量．又B1C⊄平面ODC1，∴B1C∥平面ODC1.3图412．(15分)如图4，已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点，且OE＝kOA，OF＝kOB，OH＝kOD，AC＝AD＋mAB，EG＝EH＋mEF.求证：(1)A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；(2)AC∥EG；(3)OG＝kOC.证明：(1)∵AC＝AD＋mAB，∴A、B、C、D四点共面．∵EG＝EH＋mEF，∴E、F、G、H四点共面．(2)EG＝EH＋mEF＝OH－OE＋m(OF－OE)＝k(OD－OA)＋km(OB－OA)＝kAD＋kmAB＝k(AD＋mAB)＝kAC，∴AC∥EG.(3)OG＝OE＋EG＝kOA＋kAC＝k(OA＋AC)＝kOC.4
