教学案例探究平面向量数量积的含义一．教学内容分析本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4》（A版）第二章、第4节第1课时。它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来；由向量数量积与向量的长度及夹角的关系，进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律。让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的这种认识规律和体会概念法则的学习过程.二.学生学习情况分析：学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法。在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上,学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律,对于运算律不一定给全或给对,对运算律的证明可能会存在一定的困难,教学中老师要注意引导学生分析判断.利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量学生容易混淆。利用数量积运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系解决问题，是学生学习本节内容的重点又是难点。三.设计思想：遵循《高中数学课程标准》以人为本的理念，以启发式教学思想和建构主义理论为指导，采用探究式教学，以多媒体手段为平台，利用问题让学生自主地参与探究，在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系。四、教学目标1，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2，掌握向量数量积的性质和运算律，会进行平面向量数量积的运算；3，能运用数量积表示两个向量的夹角，判断两个向量的垂直关系；4，通过向量的线性运算及多项式乘法运算的对照，强化学生的类比思想；通过数量积的性质、运算律的灵活应用，发展学生从特殊到一般的能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。五.教学重点和难点:重点是平面向量的数量积的概念和性质；用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角；平面向量数量积的运算律的探究及应用。难点是平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解；平面向量数量积的灵活应用。六.教学过程：（情景一）开门见山，探究数量积的概念出示幻灯片（一）（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功--------------。（2）这个公式有什么特点？请完成下列填空：①W（功）是量，②F（力）是量，③S（位移）是量，④α是。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?（4）如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？生1：cosWFs（其中是F和S的夹角）。功是标量，力是矢量，位移是矢量，α是力与位移的夹角。功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积。生2：结果是两个向量大小及其夹角余弦的乘积。师：好，由上例得已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量︱a︱·︱b︱cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作：a·b，即：a·b=︱a︱·︱b︱cosθ定义说明：①记法“a·b”中间的“·”不可以省略，也不可以用“”代替.②“规定”：零向量与任何向量的数量积为零。生3（举手）：功sFW行吗师:完全可以.请同学们用一句话来概括功的数学本质。生（全体）：功是力与位移的数量积。出示幻灯片（二）尝试练习：一物体质量是10千克，分别做以下运动：①、竖直下降10米；②、竖直向上提升10米；③、在水平面上位移为10米；④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；分别求重力做功的大小。（学生完成的不错）出示幻灯片（三）:例1已知.120,4,5ba，baba求的夹角与点评：以物理问题为背景，初步认识向量的数量积，为引入向量的数量积的概念做铺垫。通过尝试练习与例1的演练，一方面使学生尝试计算数量积，巩固对定义的理解；另一方面使学生理解数量积的物理意义，明白学科间的联系，同时也为数量积的性质埋下伏笔。充分利用向量模型产生的物理背景,采用...
