高中数学 同步测控第三章过关检测 新人教A版选修2-1VIP免费

第三章过关检测(时间:45分钟,满分:100分)一、选择题(每小题6分,共48分)1.已知点A(-4,8,6),则点A关于y轴对称的点的坐标为().A.(-4,-8,6)B.(-4,-8,-6)C.(-6,-8,4)D.(4,8,-6)答案:D2.若a=(0,1,-1),b=(1,1,0),且(a+λb)⊥a,则实数λ的值为().A.-1B.0C.1D.-2答案:D解析:a+λb=(λ,1+λ,-1).由(a+λb)⊥a,知(a+λb)·a=0,所以1+λ+1=0,解得λ=-2.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则cos􀎮,􀎮的值等于().A.B.C.D.答案:B解析:设正方体棱长为1,则||=,||=,而·=()·=||2+··|2+··=1+0+0-+0+0=.故cos􀎮,􀎮=.4.已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为().A.B.C.4D.8答案:A解析:|a|=3,|b|=3,而a·b=4=|a||b|cos􀎮a,b􀎮,∴cos􀎮a,b􀎮=,故sin􀎮a,b􀎮=,于是以a,b为邻边的平行四边形的面积为S=|a||b|sin􀎮a,b􀎮=3×3×.15.如图,在四面体ABCD中,已知=b,=a,=c,,则等于().A.-a+b+cB.a+b+cC.a-b+cD.a-b+c答案:A解析:()=-a+b+c.6.在三棱锥P-ABC中,△ABC为等边三角形,PA⊥平面ABC,且PA=AB,则二面角A-PB-C的平面角的正切值为().A.B.C.D.答案:A解析:设PA=AB=2,建立空间直角坐标系,平面PAB的一个法向量是m=(1,0,0),平面PBC的一个法向量是n=.则cos=.∴正切值tan=.7.已知A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动(O为原点),则当取最小值时,点Q的坐标为().A.B.C.D.答案:D解析:由题意可知=λ,故可设Q(λ,λ,2λ),∴·=6λ2-16λ+10=6,2∴λ=时,·取最小值,此时Q的坐标为.8.如图,把等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成直二面角形状,即使△ABD和△ACD所在平面互相垂直,某同学得到下面四个结论:①=0;②∠BAC=60°;③三棱锥D-ABC是正三棱锥;④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.则正确的结论是().A.①②B.②③C.③④D.①④答案:B二、填空题(每小题6分,共18分)9.若向量a=(4,2,-4),b=(1,-3,2),则2a·(a+2b)=.答案:32解析:2a·(a+2b)=2|a|2+4a·b=2×36+4×(-10)=32.10.如图,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<,>=.以D为原点,分别以DA,DC,DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系,则点E的坐标为.答案:(1,1,1)11.已知直线AB,CD是异面直线,AC⊥AB,AC⊥CD,BD⊥CD,且AB=2,CD=1,则异面直线AB与CD所成角的大小为.答案:60°解析:设AB与CD所成的角为θ,则cosθ=|cos􀎮,􀎮|=.由于·=()···=0+12+0=1,∴cosθ=.由于0°<θ≤90°,∴θ=60°,故异面直线AB与CD所成角的大小为60°.三、解答题(共3小题,共34分)12.(10分)已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(1)求|2a+b|;(2)在直线AB上,是否存在一点E,使得⊥b?(O为原点)解:(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),故|2a+b|==5.3(2)+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t).若⊥b,则·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=,因此存在点E,使得⊥b,此时E点坐标为.13.(10分)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被平行四边形AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.求点C到平面AEC1F的距离.解:如图所示,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DF所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.由题意,得A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).设F(0,0,z),∵四边形AEC1F为平行四边形,∴.∴(-2,0,z)=(-2,0,2).∴z=2.∴F(0,0,2).则=(0,4,1),=(-2,0,2).设平面AEC1F的法向量为n=(x,y,z),则⇒取z=1,则n=.又∵=(0,0,3),∴d=.14.(14分)(2011四川高考,理19)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1.D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA1.4(1)求证:CD=C1D;(2)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;(3)求点C到平面B1DP的距离.解:如图,以A1为原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A1xyz,则A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(0,1,0),B(1,0,1).(1)设C1D=x,∵AC∥PC1,∴.由此可得D(0,1,x),P,∴=(1,0,1),=(0,1,x),.设平面BA1D的一个法向量为n1=(a,b,c),则令c=-1,则n1=(1,x,-1).∵PB1∥平面BA1D,∴n1·=1×(-1)+x·+(-1)×0=0.由此可得x=,故CD=C1D.(2)由(1)知,平面BA1D的一个法向量n1=.又n2=(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量,∴cos=.故二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为.5(3)∵=(1,-2,0),,设平面B1DP的一个法向量n3=(a1,b1,c1),则令c1=1,可得n3=.又,∴点C到平面B1DP的距离d=.6