第3章313知能优化训练VIP专享VIP免费

1．若{a，b，c}是空间的一个基底，向量m＝a＋b，n＝a－b，则向量a，b，c中与m，n可以构成空间向量另一个基底的向量是__________．答案：c2．O、A、B、C为空间四点，且向量OA、OB、OC不能构成空间的一个基底，则__________．答案：O、A、B、C四点共面3．下列说法正确的是__________．①任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底②不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底③单位正交基底中的基向量模为1，且互相垂直④不共面且模为1的三个向量可构成空间的单位正交基底答案：③4．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，则以下等式中，不正确的是__________．①D1B＝D1D＋D1A1＋D1C1②D1B＝D1C1＋BB1＋CB③D1B＝D1A1＋A1B1＋A1A④D1B＝D1C1＋C1D＋DB答案：②一、填空题1．下列命题中的真命题有__________．①空间中的任何一个向量都可用a、b、c表示；②空间中的任何一个向量都可用基向量a、b、c表示；③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示；④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示．解析：共面向量定理指出，平面内任一向量都可以用平面内不共线的两个向量线性表示，而命题④中缺少“不共线”这一重要条件，故为假命题．空间向量基本定理告诉我们空间中任一向量都可用不共面的三个向量线性表示．①中没有强调“不共面”，故为假命题．②③两命题为真命题．答案：②③2．已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝αa＋βb＋γc，则α、β、γ分别为__________．解析：由题意，a、b、c为三个不共面的向量，所以由空间向量定理可知必然存在惟一的有序实数对{α，β，γ}，使d＝αa＋βb＋γc.∴d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3.又 d＝e1＋2e2＋3e3，∴⇒答案：、－1、－3．若向量MA，MB，MC的起点和终点M，A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量MA，MB，MC成为空间向量的一组基底的关系是__________．①OM＝OA＋OB＋OC②MA＝MB＋MC③OM＝OA＋OB＋OC④MA＝2MB－MC解析：对于①，由于结论OM＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)⇔M，A，B，C四点共面知，MA，MB，MC共面；对于②④，易知MA，MB，MC共面，故只有③中MA，MB，MC不共面．答案：③4．设a，b，c是三个不共面向量，现从①a＋b，②a－b，③a＋c，④b＋c，⑤a＋b－c中选出一个使其与a、b构成空间向量的一个基底，则可以选择的向量为__________．答案：③④⑤5．在空间平移△ABC到△A′B′C′，连结对应顶点，设AA′＝a，AB＝b，AC＝c，M是BC′的中点，N是B′C′的中点，若以{a，b，c}为基底表示向量MN，则MN＝__________.答案：a6．{a，b，c}构成一个基底，则＝＝是p＝x1a＋y1b＋z1c与q＝x2a＋y2b＋z2c共线的__________条件．答案：充分不必要7．已知平行六面体OABC－O′A′B′C′中，OA＝a，，OO′＝b，OC＝c，D是四边形OABC的中心，则可用a，b，c表示OD＝__________.解析：结合图形，充分利用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则，利用基向量a、b、c表示OD.仔细观察会发现OD与OA、OC是共面向量，故它们三者之间具有线性关系，即可得到答案．答案：a＋c8.已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，E是底面A′B′C′D′的中心，a＝AA′，b＝AB，c＝AD，AE＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为x＝__________，y＝__________，z＝__________.解析：由题意知AA′，AB，AD为不共面向量，而AE＝AA′＋A′E＝AA′＋(A′B′＋A′D′)＝AA′＋AB＋AD＝2a＋b＋c，∴x＝2，y＝1，z＝.答案：21二、解答题9.如图所示，空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，D为BC的中点，设OA＝a，OB＝b，OC＝c.试用向量a、b、c表示向量GH.解： GH＝OH－OG，又OH＝OD＝×(OB＋OC)＝(b＋c)，OG＝OA＋AG＝OA＋AD＝OA＋×(AB＋AC)＝a＋(OB－OA＋OC－OA)＝a＋(b＋c－2a)＝(a＋b＋c)，∴GH＝(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a.10．已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心，AB＝i，AD＝j，AP＝k，试用基底{i，j，k}表示PG、BG、AG.解：如图所示，设E为CD中点，则①PG＝PE＝×(PC＋PD)＝(i＋j－...