第九节直线与圆锥曲线的位置关系A组基础题组1.过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线()A.有且只有一条B.有且只有两条C.有且只有三条D.有且只有四条2.过点的直线l与抛物线y=-x2交于A、B两点,O为坐标原点,则·的值为()A.-B.-C.-4D.无法确定3.已知双曲线-=1(a>0,b>0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4,若抛物线y=ax2上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-,则m的值为()A.B.C.2D.34.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且倾斜角为60°的直角l与抛物线C在第一、四象限分别交于A,B两点,则的值等于.5.(2018北京东城期中,19)已知A(-2,0),B(2,0)分别为椭圆C的左,右顶点,F为其右焦点,P是椭圆C上异于A、B的动点,且△APB面积的最大值为2.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D,当直线AP绕点A转动时,试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系,并加以证明.B组提升题组6.(2017北京东城二模,19)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长为2,右焦点为F(1,0),点M是椭圆C上异于左、右顶点A、B的一点.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线AM与直线x=2交于点N,线段BN的中点为E.证明:点B关于直线EF的对称点在直线MF上.7.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),离心率为.过点F2的直线l(斜率不为0)与椭圆C交于A、B两点,线段AB的中点为D,O为坐标原点,直线OD交椭圆于M,N两点.(1)求椭圆C的方程;(2)当四边形MF1NF2为矩形时,求直线l的方程.答案精解精析A组基础题组1.B设该抛物线焦点为F,A(xA,yA),B(xB,yB),则|AB|=|AF|+|FB|=xA++xB+=xA+xB+1=3>2p=2,所以符合条件的直线有且只有两条.2.B由题意知直线l的斜率存在.设A(x1,y1)、B(x2,y2),直线l的方程为y=kx-,代入抛物线方程得2x2+2kx-1=0,由此得∴·=x1x2+y1y2=x1x2+=(k2+1)·x1x2-k·(x1+x2)+=-(k2+1)-k·(-k)+=-.故选B.3.A由双曲线的定义知2a=4,得a=2,所以抛物线的方程为y=2x2.因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=2x2上,所以y1=2,y2=2,两式相减得y1-y2=2(x1-x2)(x1+x2),不妨设x1x2.由直线l的倾斜角为60°,且过点F,得直线l的方程为y-0=,即y=x-p,联立消去y并整理,得12x2-20px+3p2=0,则x1=p,x2=p,则==3.5.解析(1)由题意可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),F(c,0).由题意知解得故椭圆C的方程为+=1,离心率为.(2)以BD为直径的圆与直线PF相切.证明如下:由题意可设直线AP的方程为y=k(x+2)(k≠0),则点D的坐标为(2,4k),BD的中点E的坐标为(2,2k).由得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0.设点P的坐标为(x0,y0),则-2x0=,所以x0=,y0=k(x0+2)=.当k=±时,点P的坐标为,点D的坐标为(2,±2).此时直线PF⊥x轴,以BD为直径的圆(x-2)2+(y∓1)2=1与直线PF相切.当k≠±时,直线PF的斜率kPF==,所以直线PF的方程为y=(x-1).点E到直线PF的距离d===2|k|.又|BD|=4|k|,所以d=|BD|.故以BD为直径的圆与直线PF相切.综上,当直线AP绕点A转动时,以BD为直径的圆与直线PF相切.B组提升题组6.解析(1)由题意得b=,c=1,所以a==2,所以椭圆C的方程为+=1.(2)证明:“点B关于直线EF的对称点在直线MF上”等价于“FE平分∠MFB”.设直线AM的方程为y=k(x+2)(k≠0),则N(2,4k),E(2,2k).设点M(x0,y0),由得(3+4k2)·x2+16k2x+16k2-12=0,则x0-2=-,所以①当MF⊥x轴时,x0=1,此时k=±,所以M,N(2,±2),E(2,±1).所以点E在∠MFB的平分线所在的直线y=x-1或y=-x+1上,即FE平分∠MFB.②当k≠±时,直线MF的斜率为kMF==,所以直线MF的方程为4kx+(4k2-1)y-4k=0.所以点E到直线MF的距离d====|2k|=|BE|,∴FE平分∠MFB.综上,点B关于直线EF的对称点在直线MF上.7.解析(1)由题意可知解得a=,b=.故椭圆C的方程为+=1.(2)由题意可知直线l的斜率存在,设为k,则其方程为y=k(x-2)(k≠0),设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(-x3,-y3),由得(1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0,所以x1+x2=,则y1+y2=k(x1+x2-4)=,所以AB的中点D的坐标为,因此直线OD的方程为x+3ky=0(k≠0).由得M点的坐标为.因为四边形MF1NF2为矩形,所以·=0,即(x3-2,y3)·(-x3-2,-y3)=0,所以4--=0.所以4-=0.解得k=±.故直线l的方程为y=±(x-2).
