一比较法-(3)VIP免费

高二选修4-52.1比较法已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.【证明】2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0,从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.问题导入本节目标1．理解比较法证明不等式的依据．2．掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．3．通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．1.若x，y∈R，记ω＝x2＋3xy，u＝4xy－y2，则()A．ω＞uB．ω＜uC．ω≥uD.无法确定【解析】 ω－u＝x2－xy＋y2＝x－y22＋3y24≥0，∴ω≥u.【答案】C预习反馈2.下列命题：①当b＞0时，a＞b⇔ab＞1；②当b＞0时，a＜b⇔ab＜1；③当a＞0，b＞0时，ab＞1⇔a＞b；④当ab＞0时，ab＞1⇔a＞b.其中真命题是()A．B①②③．C①②④．D.④①②③④预习反馈【解析】由不等式的性质，①②③正确．当ab＞0时(若b＜0，a＜0)，ab＞1与a＞b不等价，④错．【答案】A预习反馈3．设a＞b＞0，x＝a＋b－a，y＝a－a－b，则x，y的大小关系是x________y.【解析】 xy＝a＋b－aa－a－b＝a＋a－ba＋a＋b＜a＋a＋ba＋a＋b＝1，且x＞0，y＞0，∴x＜y.【答案】＜预习反馈教材整理1作差比较法1．理论依据：①a＞b⇔；②a＝b⇔a－b＝0；③a＜b⇔.2．定义：要证明a＞b，转化为证明，这种方法称为作差比较法．3．步骤：①；②变形；③；④下结论．a－b＞0a－b＜0a－b＞0作差判断符号课堂探究教材整理2作商比较法1．理论依据：当b＞0时，①a＞b⇔；②a＜b⇔ab＜1；③a＝b⇔ab＝1.2．定义：证明a＞b(b＞0)，只要转化为证明，这种方法称为作商比较法．3．步骤：①作商；②变形；③判断商与1大小；④下结论．ab＞1ab＞1课堂探究题型一、作商比较法证明不等式例1已知a＞0，b＞0且a≠b，求证：aabb＞(ab)a＋b2.【精彩点拨】判断aabb与aba＋b2的正负→作商变形→与1比较大小→下结论典例精析【自主解答】 a＞0，b＞0，∴aabb＞0，(ab)a＋b2＞0，作商aabbaba＋b2＝aa－a＋b2·bb－a＋b2＝aba－b2. a≠b，∴当a＞b＞0时，ab＞1且a－b2＞0，∴aba－b2＞1，而(ab)a＋b2＞0，∴aabb＞(ab)a＋b2.典例精析当b＞a＞0时，0＜ab＜1且a－b2＜0，∴aba－b2＞1，而(ab)a＋b2＞0，∴aabb＞(ab)a＋b2.综上可知a＞0，b＞0且a≠b时，有aabb＞(ab)a＋b2.典例精析1．当不等式的两端为指数式时，可作商证明不等式．2．运用a＞b⇔ab＞1证明不等式时，一定注意b＞0是前提条件．若符号不能确定，应注意分类讨论．归纳小结1．已知m，n∈R＋，求证：m＋n2≥m＋nmn·nm.练一练【证明】因为m，n∈R＋，所以m＋n2≥mn＝m＋nmnm＋n2，令ω＝mnm＋n2mn·nm＝mm－n2·nn－m2＝mnm－n2，则：①当m>n>0时，mn>1，m－n>0，则ω>1.②当m＝n时，ω＝1.③当n>m>0时，01.故对任意的m，n∈R＋都有ω≥1.即m＋nmnm＋n2≥m＋nmn·nm，所以m＋n2≥m＋nmn·nm.练一练题型二、比较法的实际应用例2甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？【精彩点拨】设从出发地点至指定地点的路程是s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，要回答题目中的问题，只要比较t1，t2的大小就可以了．典例精析【自主解答】设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，依题意有：t12m＋t12n＝s，s2m＋s2n＝t2.∴t1＝2sm＋n，t2＝()2smnmn，∴t1－t2＝2sm＋n－()2smnmn＝2[4()]2()smnmnmnmn＝－2()2()smnmnmn.典例精析其中s，m，n都是正数，且m≠n，∴t1－t2＜0，即t1＜t2，从而知甲比乙先到达指定地点．1．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键．2．在实际应用不等式问题时，常用比较法来判断数的大小关系．若是选择题或填空题，则可用特殊值加以判...