课时作业13双曲线及其标准方程时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共36分)1．(2010·安徽高考)双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A.B.C.D.解析：∵双曲线方程为x2－2y2＝1，∴a＝1，b＝，得c＝＝＝，∴它的右焦点坐标为(，0)，故C正确．答案：C2．k>1，则关于x、y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是()A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在y轴上的双曲线D．焦点在x轴上的双曲线解析：原方程化为－＝1，∵k>1，∴k2－1>0,1＋k>0.∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线．答案：C3．若双曲线－＝1的焦点在y轴上，则m的取值范围是()A．(－2,2)B．(－2，－1)C．(1,2)D．(－1,2)解析：由已知得，即.即－21)的两焦点分别为F1、F2.P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2，则△PF1F2的面积为()A.B．1C．2D．4解析：不妨设|PF1|>|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2.由|PF1|＋|PF2|＝2，解得|PF1|＝＋，|PF2|＝－，|F1F2|＝2.所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∠F1PF2＝90°.所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝1.答案：B二、填空题(每小题8分，共24分)7．已知双曲线－＝1上一点M到它的一个焦点的距离等于6，则点M到另一个焦点的距离为________．解析：由题意可知，a＝4，b＝，设焦点为F1，F2且|MF1|＝6，则|MF2|－|MF1|＝±2a＝±8，∴|MF2|＝6＋8＝14或|MF2|＝6－8＝－2(舍去)．答案：148．双曲线x2－＝1的一个焦点是(2,0)，那么实数k的值为________．解析：由已知c＝2，∴c2＝a2＋b2即1＋k＝4，∴k＝3.答案：39．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F1、F2，P为椭圆与双曲线的公共点，则|PF1|·|PF2|等于________．解析：椭圆的焦点为(±，0)，双曲线的焦点为(±，0)，∴m－n＝a＋b.∴|PF1|＋|PF2|＝2，①||PF1|－|PF2||＝2②①2－②2有|PF1|·|PF2|＝m－a.答案：m－a三、解答题(共40分)10．(10分)已知椭圆x2＋2y2＝32的左、右两个焦点分别为F1，F2，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4.求动点P的轨迹E的方程．解：由椭圆的方程可化为＋＝1得|F1F2|＝2c＝2＝8，|PF1|－|PF2|＝4<8.∴动点P的轨迹E是以F1(－4,0)，F2(4,0)为焦点，2a＝4，a＝2的双曲线的右支，由a＝2，c＝4得b2＝c2－a2＝16－4＝12，故其方程－＝1(x≥2)．2图111．(15分)如图1，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1、F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，∴圆心F1(－5,0)，半径r1＝1.圆F2：(x－5)2＋y2＝42，∴圆心F2(5,0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3.∴M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线(左支)，且a＝，c＝5.∴b2＝.∴双曲线方程为x2－y2＝1(x≤－)．12．(15分)已知曲线C：＋＝1(t≠0，t≠±1)．(1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线；(2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点．解：(1)当|t|>1时，t2>0，t2－1>0，曲线C为椭圆；当0<|t|<1时，t2－1<0，曲线C为双曲线．(2)当|t|>1时，t2－1>0，曲线C是椭圆，且t2>t2－1，因而c2＝t2－(t2－1)＝1.∴焦点为F1(－1,0)、F2(1,0)当0<|t|<1时，双曲线C的方程为－＝1.∵c2＝t2＋(1－t2)＝1，∴焦点为F1(－1,0)、F2(1,0)．综上所述，无论t为何值，曲线C有相同的焦点．3
