课时作业(十七)高考解答题专题突破(一)高考中的导数应用问题1．(2015·济南模拟)已知函数f(x)＝k(x－1)ex＋x2.(1)当k＝－时，求函数f(x)在点(1,1)处的切线方程；(2)若在y轴的左侧，函数g(x)＝x2＋(k＋2)x的图象恒在f(x)的导函数f′(x)图象的上方，求k的取值范围；(3)当k≤－1时，求函数f(x)在[k,1]上的最小值m.解：(1)当k＝－时，f(x)＝－(x－1)ex＋x2，f′(x)＝(2－ex－1)x，故f′(1)＝1.函数f(x)在点(1,1)处的切线方程为y＝x.(2)f′(x)＝kx＜x2＋(k＋2)x，x<0，即kxex－x2－kx＜0，x<0.因为x＜0，所以kex－x－k＞0，令h(x)＝kex－x－k，h′(x)＝kex－1.当k≤0时，h(x)在(－∞，0)上为减函数，h(x)＞h(0)＝0，符合题意；当0＜k≤1时，h(x)在x＜0为减函数，h(x)＞h(0)＝0，符合题意；当k＞1时，h(x)在(－∞，－lnk)上为减函数，在(－lnk,0)上为增函数，h(－lnk)＜h(0)＝0，不合题意．综上，k的取值范围是(－∞，1]．(3)f′(x)＝kxex＋2x＝kx，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝ln，令g(k)＝ln－k，则g′(k)＝－－1≤0，g(k)在k＝－1时取得最小值g(－1)＝1＋ln2＞0，所以x2＝ln＞k.当－2＜k≤－1时，x2＝ln＞0，f(x)的最小值为m＝min{f(0)，f(1)}＝min{－k,1}＝1.当k＝－2时，函数f(x)在区间[k,1]上为减函数，m＝f(1)＝1.当k＜－2时，f(x)的最小值为m＝min{f(x2)，f(1)}，f(x2)＝－2＋2＝x－2x2＋2＞1，f(1)＝1，此时m＝1.综上，m＝1.2．(2015·潍坊模拟)已知函数f(x)＝lnx＋a，g(x)＝x－a.(1)当直线y＝g(x)恰好为曲线y＝f(x)的切线时，求a的值；(2)当a＞0时，若函数F(x)＝f(x)·g(x)在区间[e－，1]上不单调，求a的取值范围；(3)若a∈Z且xf(x)＋g(x)＞0对一切x＞1恒成立，求a的最小值．解：(1)设切点为(x0，y0)，由f(x)＝lnx＋a，得f′(x)＝，由题意，f′(x0)＝＝1，∴x0＝1，∴切点为(1，a)，又切点在直线y＝g(x)上，∴1－a＝a，∴a＝.(2)F(x)＝f(x)·g(x)＝(lnx＋a)(x－a)，F′(x)＝1＋a＋lnx－. a＞0，∴函数y＝－在(0，＋∞)上单调递增．又 y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，∴F′(x)＝1＋a＋lnx－在(0，＋∞)上单调递增． F′(1)＝1＋a＋ln1－a＞0，∴要使F(x)＝(lnx＋a)(x－a)在[e－，1]上不单调，只需满足F′(e－)＝1＋a＋lne－－＜0，解得a＞＝.即a的取值范围是.(3)由题意，x(lnx＋a)＋x－a＞0对一切x＞1恒成立，等价于a＞对一切x＞1恒成立．记φ(x)＝(x＞1)，则φ′(x)＝＝，记μ(x)＝2＋lnx－x(x＞1)，μ′(x)＝－1＜0，∴μ(x)＝2＋lnx－x在(1，＋∞)上单调递减，又μ(3)＝2＋ln3－3＝ln3－1＞0，μ(4)＝2＋ln4－4＝ln4－2＜0，∴∃x0∈(3,4)，使μ(x0)＝0，且当x∈(1，x0)，μ(x)＞0，φ′(x)＞0，φ(x)在(1，x0)上单调递增，x∈(x0，＋∞)，μ(x)＜0，φ′(x)＜0，φ(x)在(x0，＋∞)上单调递减，∴φ(x)max＝φ(x0)＝.又μ(x0)＝0，即2＋lnx0－x0＝0，lnx0＝x0－2，∴φ(x0)＝＝＝－x0，∴a＞－x0，又x0∈(3,4)，∴－x0∈(－4，－3)．又a∈Z，∴a的最小值为－3.3．(2015·日照模拟)已知函数f(x)＝ex.(1)当x＞0时，设g(x)＝f(x)－(a＋1)x(a∈R)，讨论函数g(x)的单调性；(2)证明：当x∈时，f(x)＜x2＋x＋1.解：(1)g(x)＝ex－(a＋1)x，所以g′(x)＝ex－(a＋1)．当x＞0时，ex＞1，故有当a＋1≤1，即a≤0时，x∈(0，＋∞)，g′(x)＞0；当a＋1＞1，即a＞0时，ex＞1，令g′(x)＞0，得x＞ln(a＋1)；令g′(x)＜0，得0＜x＜ln(a＋1)，综上，当a≤0时，g(x)在(0，＋∞)上是增函数；当a＞0时，g(x)在(0，ln(a＋1))上是减函数，在(ln(a＋1)，＋∞)上是增函数．(2)证明：设h(x)＝f(x)－(x2＋x＋1)＝ex－x2－x－1，则h′(x)＝ex－2x－1，令m(x)＝h′(x)＝ex－2x－1，则m′(x)＝ex－2，因为x∈，所以当x∈时，m′(x)＜0，m(x)在上是减函数；当x∈(ln2,1]时，m′(x)＞0，m(x)在(ln2,1]上是增函数，又m＝－2＜0，m(1)＝e－3＜0，所以当x∈时，恒有m(x)＜0，即h′(x)＜0，所以h(x)在上为减函数，所以h(x)≤h＝－＜0，即当x∈时，f(x)＜x2＋x＋1.4．(2015·威海模拟)已知函数f(x)＝lnx＋，其中a为大于零的常数．(1)若f(x)在点(1,0)处的切线过(2，－1)点，求实数a的值；(2)当a＝1时，求f(x)在[1，e...
