专题：矩阵与变换（二）题1已知M＝，α＝，求M20α．题2矩阵A＝的特征值为________．题3.已知M＝，β＝，计算M5β.题4.已知二阶矩阵S有特征值λ＝8，其对应的一个特征向量m＝，并且矩阵S对应的变换将点A(－1,2)变换成A′(－2,4)．(1)求矩阵S；(2)求矩阵S的另一个特征值及对应的另一个特征向量n的坐标之间的关系．题5设a，b∈R，若矩阵A＝把直线l：x＋y－1＝0变成为直线m：x－y－2＝0，则a＝________，b＝________.课后练习详解题1答案：．详解：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝(λ－1)2－4＝0，λ1＝3，λ2＝－1，对应的特征向量分别为和，而α＝＋2，所以M20α＝320＋2(－1)20＝.题2答案：3或2详解：f(λ)＝＝(λ－1)(λ－4)＋2＝λ2－5λ＋6，令f(λ)＝0，则λ＝3或2.题3.答案：.详解：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－2λ－3.令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得它们对应的一个特征向量分别为α1＝，α2＝.令β＝mα1＋nα2，所以求得m＝4，n＝－3.M5β＝M5(4α1－3α2)＝4(M5α1)－3(M5α2)＝4(λα1)－3(λα2)＝4·35－3(－1)5＝.题4.答案：（1）S＝；（2）2x＋y＝0.详解：(1)设矩阵S＝，则＝8，故①又＝，则②由①②得a＝6，b＝4，c＝2，d＝4，故S＝.(2)由(1)知，矩阵S的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－2)(λ－8)，令f(λ)＝0，得矩阵S的特征值为2或8.所以另一个特征值为λ＝2，设矩阵S的另一个特征向量n＝，则Sn＝＝2，即得2x＋y＝0，所以矩阵S的另一个特征值对应的另一个特征向量n的坐标之间的关系是2x＋y＝0.题5答案：2，－1．详解：＝得代入x′－y′－2＝0得a＝2，b＝－1.
