2.3.2双曲线的简单几何性质课时演练·促提升A组1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是()A.2B.2C.4D.4解析:双曲线的标准方程为=1,所以a2=4,a=2,实轴长为4.答案:C2.双曲线=1的焦点到渐近线的距离为()A.2B.2C.D.1解析:由双曲线=1,得a2=4,b2=12,故c2=16.不妨取焦点(4,0),渐近线为y=x,则距离d=2.答案:A3.双曲线的两个顶点将焦距三等分,则它的离心率为()A.B.3C.D.解析:依题意可得2c=3×2a,即c=3a,所以e==3.答案:B4.与双曲线=1有共同的渐近线,且经过点(-3,2)的双曲线方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析:由已知设双曲线方程为=λ(λ≠0),代入点(-3,2),得λ=.故双曲线为=1.答案:D5.若双曲线与椭圆4x2+y2=1有相同的焦点,它的一条渐近线方程为y=x,则这个双曲线的方程为()A.2x2-4y2=1B.2x2-4y2=2C.2y2-4x2=1D.2y2-4x2=3解析:因为椭圆4x2+y2=1的焦点坐标为,所以双曲线的焦点坐标为.又由双曲线的渐近线方程为y=x,得,即a2=2b2.由=a2+b2,得a2=,b2=.再结合双曲线的焦点在y轴上,知选C.答案:C6.已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,且过点(3,2),则此双曲线的方程为.解析:∵离心率为,∴双曲线为等轴双曲线,∴a=b.把点(3,2)代入方程,得=1.∴a2=b2=5.∴双曲线的方程为x2-y2=5.答案:x2-y2=57.若双曲线离心率为,焦点在x轴上,则其渐近线方程为.解析:因为e=,所以=5,=4,=2,故渐近线方程为y=±2x.答案:y=±2x8.如图,ABCDEF为正六边形,则以F,C为焦点,且经过A,E,D,B四点的双曲线的离心率为.解析:由双曲线的定义知|DF|-|DC|=2a,|FC|=2c,若设正六边形的边长为1,则|DF|=,|FC|=2,即c=1,所以-1=2a,即a=,所以e=+1.答案:+19.已知双曲线C的方程为=1(a>0,b>0),离心率e=,顶点到渐近线的距离为,求双曲线C的方程.解:依题意,双曲线焦点在y轴上,顶点坐标为(0,a),渐近线方程为y=±x,即ax±by=0,所以,又e=,所以b=1,即c2-a2=1,-a2=1,解得a2=4,1故双曲线方程为-x2=1.10.已知斜率为2的直线被双曲线=1截得的弦长为4,求直线l的方程.解:设直线l的方程为y=2x+b.设直线l与双曲线=1的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).由化简,得10x2+12bx+3(b2+2)=0,则x1+x2=-,x1x2=,y1-y2=(2x1+b)-(2x2+b)=2(x1-x2).由|AB|=4,得(x1-x2)2+(y1-y2)2=16,∴5(x1-x2)2=16,即5[(x1+x2)2-4x1x2]=16,∴5=16,解得b2=.∴b=±.故所求直线l的方程为y=2x±.B组1.已知双曲线的方程是x2-=1,A1,A2分别是它的左、右顶点,F是它的右焦点,过F作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,则=()A.4B.-4C.6D.-6解析:由条件知点A1(-1,0),A2(1,0),根据对称性,设P为第一象限内的交点,则P(,2).所以=(-1-,-2)·(1-,-2)=6.故选C.答案:C2.双曲线=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1,F2,若双曲线上存在点P,使|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为()A.[3,+∞)B.(1,3]C.[2,+∞)D.(1,2]解析:由题意知在双曲线上存在一点P,使得|PF1|=2|PF2|,如图.∵|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF2|=2a,即在双曲线右支上恒存在点P使得|PF2|=2a,即|AF2|≤2a.∴|OF2|-|OA|=c-a≤2a,∴c≤3a.∵c>a,∴a0)的两条渐近线分别交于点A,B,且△AOB的面积为8,则焦距为.解析:由双曲线x2-=1,得渐近线为y=±bx,则交点为A(2,2b),B(2,-2b).∵S△AOB=×2×4b=8,∴b=2.又∵a2=1,∴c2=a2+b2=5.∴焦距2c=2.答案:24.已知双曲线的中心在原点,过右焦点F(2,0)作斜率为的直线,交双曲线于M,N两点,且|MN|=4,求双曲线方程.解:设所求双曲线方程为=1(a>0,b>0),由右焦点为F(2,0),知c=2,b2=4-a2,则双曲线方程为=1,直线MN的方程为y=(x-2),代入双曲线方程整理,得(20-8a2)x2+12a2x+5a4-32a2=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),2则x1+x2=,x1x2=.∴|MN|===4,解得a2=1,∴b2=4-1=3.故所求双曲线方程为x2-=1.5.过点M(0,-1)的直线l交双曲线2x2-y2=3于两个不同的点A,B,O是坐标原点,直线OA与OB的斜率之和为1,求直线l的方程.解:设直线l的方程为y=kx-1,代入2x2-y2=3中,得(2-k2)x2+2kx-4=0,当时,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.又kOA+kOB==1,故(kx1-1)x2+(kx2-1)x1=x1x2,即(2k-1)x1x2-(x1+x2)=0.于是有(2k-1)=0,解得k=,经验证这个结果是符合的条件,故直线l的方程为2x-3y-3=0.6.已知双曲线C1:x2-=1.(1)求与双曲线C1有相同的焦点,且过点P(4,)的双曲线C2的标准方程;(2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A,B两点.当=3时(O为坐标原点),求实数m的值.解:(1)双曲线C1的焦点坐标为(,0),(-,0).设双曲线C2的标准方程为=1(a>0,b>0),则解得故双曲线C2的标准方程为-y2=1.(2)双曲线C1的渐近线方程为y=2x,y=-2x.设A(x1,2x1),B(x2,-2x2).由消去y,化简得3x2-2mx-m2=0,由Δ=(-2m)2-4×3×(-m2)=16m2>0,得m≠0.∵x1x2=-=x1x2+(2x1)(-2x2)=-3x1x2,∴m2=3,即m=±.3
