3.1平面图形的面积VIP免费

定积分的简单应用定积分的简单应用咸阳市乾县二中陈飞燕咸阳市乾县二中陈飞燕定积分的几何意义（1）当f(x)≥0时，表示的是y=f(x)与x=a,x=b和x轴所围曲边梯形的面积。（2）当f(x)＜0时，y=f(x)与x=a,y=b和x轴所围曲边梯形的面积为()bafxdx|()|()bbaafxdxfxdx（一）复习回顾-∏∏1-1yxo例1.求如图所示阴影部分图形的面积。(f〔x〕=sinx)分析：图形中阴影部分的面积由两个部分组成；一部分是x轴上方的图形的面积（记为s1）;另一部分是x轴下方图形的面积（记为s2）.根据图像的性质：s1=s2.所以，所求阴影部分的面积是4..10sincos|(coscos0)2.0sxdxx（二）例题分析542yxo思考：求如下图形中阴影部分面积54242sin(sin)2sxdxxdx例2.求抛物线y=x与直线y=2x所围成平面图形的面积。2o2x4y求出曲线y=与直线y=2x的交点为（0，0）和（2，4）。2x设所求图形的面积为S，根据图像可以看出S等于直线y=2x，x=2以及x轴所围成平面图形的面积（设为S1）减去抛物线y=，直线x=2以及x轴所围成的图形的面积（设为S2）。2x解:画出抛物线y=与直线y=2x所围成的平面图形，如图所示。2x22333202118|(20)0333sxdxx1284433sss22221022|2040sxdxx∵思考：求曲线y=与直线x+y=2围成的图形的面积。小结：求平面图形的面积的一般步骤（1）根据题意画出图形；（2）找出范围，确定积分上、下限；（3）确定被积函数；（4）写出相应的定积分表达式；（5）用微积分基本定理计算定积分，求出结果。2x抽象概括：一般地，设由曲线y=f(x)，y=g(x)以及直线x=a，y=b所围成的平面图形（如图1）的面积S，则()().bbaasfxdxgxdxyxoaby=f(x)y=g(x)syy=f(x)sy=g(x)aboxxyoaby=g(x)y=f(x)s图1图2图3想一想：上图中（2）、（3）满足上面的公式吗？例3.求曲线x=和直线y=x-2所围成的图形的面积。2yx=1s1s2yox4212-2-11y=x-2x=2y解：阴影部分面积S=S1+S2.S1由y=，y=-，x=1围成：xxS2由y=，y=x-2，x=1围成：x110[()],sxxdx421[(2)],sxxdx14012(2).sxdxxxdx92（三）练习1.求曲线y=1/x、直线x=1，x=2以及x轴所围成的平面图形的面积。2.求由曲线xy=1及直线x=y，y=3所围成的平面图形的面积。3.求曲线y=sinx(x[])∈和y=cosx(x[])∈围成的平面图形的面积。344，344，(2)变力沿直线所做的功例4：如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉长6cm,需做功（）A.0.18JB.0.26JC.0.12JD.0.28J所以做功就是求定积分0060100xdx018..kxF则由题可得k100。略解：设A说明：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x=b点，则变力F(x)所做的功为:badxxFW)(＝（四）总结（1）利用定积分求所围平面图形的面积，要利用数形结合的方法确定被积函数和积分上、下限。（2）当平面图形是由多条曲线围成时，要合理分区域积分求面积。再见再见