1.1导数与函数的单调性-(2)VIP免费

阶段一阶段二阶段三学业分层测评§4.1函数的单调性与极值4.1.1导数与函数的单调性1．结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系．2．正确理解利用导数判断函数单调性的思想方法，并能灵活运用．(重点、难点)3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．(重点)[基础·初探]教材整理导数与函数的单调性阅读教材P81至P82“例1”以上部分，完成下列问题．导函数的符号与函数的单调性之间的关系如果在某个区间内，都有函数y＝f(x)的导数________，则在这个区间上，函数y＝f(x)是________．如果在某个区间内，都有函数y＝f(x)的导数________，则在这个区间上，函数y＝f(x)是________．【答案】f′(x)>0增加的f′(x)<0减少的判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上是减少的．()(2)函数在某点的导数越小，则函数在该点处的切线越平缓．()(3)若函数f(x)在某区间上是增加的，则f′(x)>0.()【答案】(1)×(2)×(3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________疑问3：______________________________________________________解惑：_______________________________________________________[小组合作型]利用导数判断函数的单调性证明函数f(x)＝lnxx在区间(0,2)上是单调递增函数．【精彩点拨】求证函数f(x)在(0,2)上为增函数，只要证f′(x)≥0在(0,2)上恒成立即可．【自主解答】 f(x)＝lnxx，∴f′(x)＝lnx′x－lnx·x′x2＝1x·x－lnxx2＝1－lnxx2，又 x∈(0,2)．∴lnx0.即函数在区间(0,2)上是单调递增函数．利用导数证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是证明不等式f′x>0或f′x<0恒成立，这时一般是先将函数的导数求出来，然后对其进行整理、化简、变形，根据不等式的相关知识，在给定区间上判断导数的正负，从而得证.[再练一题]1．证明：函数f(x)＝sinxx在区间π2，π上单调递减.【导学号：63470076】【证明】f′(x)＝xcosx－sinxx2，又x∈π2，π，则cosx<0，sinx>0，∴xcosx－sinx<0，∴f′(x)<0，∴f(x)在π2，π上是减函数．利用导数求函数的单调区间求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x2－lnx；(2)f(x)＝exx－2；(3)f(x)＝－x3＋3x2.【精彩点拨】求定义域→求导数→解不等式f′x<0和f′x>0→写单调区间【自主解答】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2x－1x＝2x－12x＋1x.因为x>0，所以2x＋1>0，由f′(x)>0，解得x>22，所以函数f(x)的单调递增区间为22，＋∞；由f′(x)<0，解得x<22，又x∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为0，22.(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝exx－2－exx－22＝exx－3x－22.因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0.由f′(x)>0，解得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)<0，解得x<3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．(3)由f(x)＝－x3＋3x2.得f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)．由f′(x)>0，解得02或x<0，因此，函数在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上是单调递减的．故函数f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(－∞，0)和(2，＋∞)．利用导数求函数单调区间的基本步骤：1确定函数fx的定义域；2求导数f′x；3确定f′x>0或f′x<0时相应的x的范围：当f′x>0时，fx在相应的区间上是增加的；当f′x<0时，f′x在相应的区间上是减少的.[再练一题]2．求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1...