1.1.2余弦定理VIP专享VIP免费

1.1.2余弦定理高一数学必修5第一章解三角形1、正弦定理可以解决三角形中的问题：①已知两角和一边，求其他角和边②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角RCcBbAa2sinsinsin正弦定理：复习回顾RCcBbAa2sinsinsin正弦定理：2、A+B+C=π3、大角对大边，大边对大角4、正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化复习回顾隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段BC）的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC已知：AB、AC、角Ａ(两条边、一个夹角)情景引入实际问题数学化:在△ABC中，已知边AC，BC及∠C,求AB.ABc分析转化任意一个三角形，已知两边和夹角，如何求第三边.c=?若△ABC为任意三角形，已知BC=a，AC=b及∠C，求AB边长c.即ABcab问题探究�0222∴AB=AC+2ACCBcos(180-C)+CB证明：222∴c=a+b-2abcosC向量法)()(CBACCBACABABCBACABCBCBCBACACAC2若ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求证：bcABCaCabbaccos2222余弦定理推导bAacCB证明：以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：(cos,sin)AbCbC222∴c=a+b-2abcosCxy(,0)Ba(0,0)C解析法222)0sin()cos(CbaCbABCbaCabCb22222sincos2cosCabbacos222余弦定理推导ABCabc当角C为锐角时证明：过A作ADCB交CB于D在Rt中ADCCACCDCACADcos,sinCACCBCBACCACCACCBCBCACCDCBCACBDADABcos2coscos2sin)()sin(222222222222Cabbaccos2222RtABD在中几何法余弦定理推导当角C为钝角时证明：过A作ADCB交BC的延长线于D在Rt中ACDCACCACCDCACCACADcos)180cos(sin)180sin(在中CACCBCBACCACCACCBCBCACCDCBCACBDADABcos2coscos2sin)()sin(222222222222Cabbaccos2222bAacCBRtABD几何法余弦定理推导余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.222-c=a+b2abcosC222-a=b+c2bccosA222-b=a+c2accosBABCabc余弦定理问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.问题2：公式的结构特征怎样？（1）轮换对称，简洁优美;（2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.（方程思想）定理剖析222-c=a+b2abcosC222-a=b+c2bccosA222-b=a+c2accosB（3）已知a、b、c（三边），可以求什么？bcacbA2cos222acbcaB2cos222222090cbaA222090cbaA222090cbaAabcbaC2cos222定理剖析（1）已知三边求三个角；222b+cacosA=-2bc222a+cbcosB=-2ac222a+bccosC=-2ab问题3：余弦定理在解三角形中的作用是什么？（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.222-c=a+b2abcosC222-a=b+c2bccosA222-b=a+c2accosB定理剖析例例11、在△、在△ABCABC中，已知中，已知b=60cmb=60cm，，c=34cmc=34cm，，A=41A=4100，解这个三角，解这个三角形（边长精确到形（边长精确到1cm1cm，角度精确到，角度精确到1100））例题分析例2、在ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.解：b2＋c2－a22bc∵cosA＝＝0.725，∴A≈44°a2＋b2－c22ab∵cosC＝＝0.8071，∴C≈36°∴B＝180°－(A＋C)≈100°.∵sinC＝≈0.5954,∴C≈36°或144°(舍).csinAa()例题分析例例33、已知△、已知△ABCABC中，中，a=8,b=7,Ba=8,b=7,B＝＝606000,,求求cc及及SSABC△ABC△Bacacbcos2222解：022260cos8287cc整理得：整理得：cc22-8c+15=0-8c+15=0解得：解得：cc11=3,c=3,c22=5=531021362121BacSBacSABCABCsinsin或例题分析在△ABC：(1)已知c=8,b=3,A=60°，求a;(2)已知a=20,b=29,c=21,求B；,cos21222Abccba）由解：（4960cos38238222a得.7a,2cos)2(222cabacB由90B.021202292120cos222B得课堂练习CA201课堂练习课堂练习ABC中,（1）a＝4，b＝3，C＝60°，则c＝_____；14.6°（2）a=2,b=3,c=4,则C=______.104.5°（3）a＝2，b＝4，C＝135°，则A＝______.13课堂练习1.余弦定理推论222b+c-acosA=，2bc222c+a-bcosB=，2ca222a+b-ccosC=2ab2.余弦定理的作用（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222作业:同步导练第2课时p5课堂小结：作业1.阅读教材第5页至第7页2.教材第10页A组第3,4题作业:同步导练第2课时p5